（十四）平面向量单元综合-湖南省长沙市长郡中学2023年高一数学暑假自主学习作业本

高中暑假自主学习作业本·高一年级数学 数学作业十四　平面向量单元综合 一、单选题 1．(★)已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝(　　) A．(－2，－1) B．(2，1) C．(3，－1) D．(－3，1) 2．(★★)若平面向量a与b的夹角为60°，a＝，＝1，则＝(　　) A. B．2 C．4 D．12 3．(★★)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 4．(★★★)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD＝60°，∠ADC＝150°，＝3，CD＝，BE＝，若点F为边AD上的动点，则·的最小值为(　　) A．1 B. C. D．2 二、多选题 5．(★)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.下列四个结论正确的是(　　) A．若a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4 B．若＝，则A＝45° C．若a2＋b2＜c2，则△ABC一定是钝角三角形 D．若A＜B，则cos A＜cos B 6．(★★)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB＝4，AC＝2，则下列各式正确的有(　　) A.·＝4 B.·＝－6 C.＝＋＋ D.＋＝4＋2 7．(★★)已知△ABC中，AB＝1，AC＝4，BC＝，D在BC上，AD为∠BAC的角平分线，E为AC中点，下列结论正确的是(　　) A．BE＝ B．△ABC的面积为 C．AD＝ D．若点P在△ABE的外接圆上，则PB＋2PE的最大值为2 三、填空题 8．(★)如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底C处测得点A的俯角β＝45°，已知铁塔BC部分高32米，则山高CD＝________米． 9．(★★)在四边形ABCD中，＝＝，且＋＝，则四边形ABCD的面积为________． 10．(★★★)已知平面向量a，b，c满足＝＝＝＝1，xa＋yb＋zc＝0(x，y，z≥0且x＋y＋z＝1)，则x2＋y2＋z2的取值范围是________． 四、解答题 11．(★)已知a＝，b＝(cos x，2)，且函数f(x)＝a·b. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 12．(★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且向量n＝与m＝共线． (1)求B； (2)若＝2，且CD＝1，AD＝，求△ABC的面积． 13 (★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.且＝. (1)求角B的大小； (2)求sin A＋sin C的取值范围； (3)若C＝，BC＝2，O为BC中点，P为线段AO上一点，且满足·＝0.求AP的值，并求此时△BPC的面积S. 高中暑假自主学习作业本·高一年级数学 参考答案 1．A　【解析】因为a∥b，所以2×(－2)＝x，解得x＝－4. 所以a＋b＝(2，1)＋＝(－2，－1)．故选：A. 2．B　【解析】因为a＝(2，0)，所以|a|＝2， 又因为向量a与b的夹角为60°，|b|＝1， 所以a·b＝cos 60°＝2×1×＝1，所以＝＝＝2. 故选：B. 3．D　【解析】由题意＝＋＝＋ ＝＋＝＋， 所以＝＋，＝＋， 即＝a＋b.故选：D. 4．B　【解析】以B为原点建立如图所示平面直角坐标系． 依题意CE＝BE＝，BC＝BE＋CE＝，∠BCD＝60°， 在△BCD中，由余弦定理得 BD＝＝2， 所以BD2＋CD2＝BC2，所以∠BDC＝90°. 而BC＝2CD，所以∠DBC＝30°，所以∠ABD＝60°. 在△CDE中，由余弦定理得 DE＝＝1， 所以CE2＋DE2＝CD2，所以∠DEC＝90°，所以∠EDC＝30°. 在△ABD中，∠ABD＝∠ADB＝60°， 所以△ABD是等边三角形，所以AB＝BD＝2， 所以A，D，E，设F， 依题意，令＝λ， 即(x，y－2)＝λ＝， 所以所以F， 所以·＝· ＝4λ2－7λ＋4. 对于二次函数f＝4λ2－7λ＋4，其对称轴为λ＝，开口向上，所以当λ＝时，f有最小值， 也即·有最小值为4×2－7×＋4＝. 故选：B. 5．BC　【解析】由正弦定理知＝4＝2R，所以外接圆半径是2，故A错误； 由正弦定理及＝可得，＝＝1，即tan A＝1，由0＜A＜π，