河北省沧州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

沧州市高一年级2022-2023学年（下）教学质量监测数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 2. 一组数据，5，6，7，7，8，11，12的平均数为8，则这组数据的中位数为（ ） A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 4. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列结论： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则至少与，中一个平行 则下列说法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③ 5. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：（，为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知（ ） A. B. 1 C. D. 6. 某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，为所在平面内动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与的虚部相等 C. 若，则或 D. 若，则 10. 某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据的第60百分位数约为85 C. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D. 若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取30名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取10人 11. 已知正方形的边长为2，向量，满足，，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量的模为 D. 12. 如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，，为圆柱的两条母线，且，，，则（ ） A. 平面 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 如图，一个水平放置的的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形，若，则原三角形的面积为_________. 14. 甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是_________. 15. 在中，点满足，若线段上的一点满足，则的取值范围是_________. 16. 如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥.高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平.如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切.设，则该模型中5个球的表面积之和为_________. 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知复数（为正实数），且. （1）求； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 18. 如图所示，在多面体中，四边形是正方形，是等边三角形，，且，，分别是，中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面平面，求四棱锥的体积. 19. 根据城市空气质量污染指数分级标准，空气污染指数（API）不大于100时，空气质量为优良.某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数，所得数据分别为90，110，，，150，已知这5天的空气污染指数的平均数为110. （1）若，从这5天中任选2天，求这2天空气质量均为优良的概率； （2）若，求这5天空气污染指数的方差的最小值. 20. 已知的内角的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，证明：是直角三角形. 21. 为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻