第14讲 反比例函数-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第14讲 反比例函数 【知识梳理】 1、 反比例函数的概念 1、 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数 学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数． 2、解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中称也叫做比例系数． 3、反比例函数的定义域是不等于零的一切实数． 2、 反比例函数的图像 1、反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支． 3、 反比例函数的性质 1、当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小． 2、当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大． 3、图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交． 【考点剖析】 题型一：反比例函数的概念 例1．下列变化过程中的两个变量是否成反比例?为什么？ （1）被除数为100，变量分别是除数和商； （2）三角形面积一定时，三角形一边上的长和这条边上的高； （3）一位男同学练习1000米长跑，变量分别是男生跑步的平均速度v（米/秒）和跑完 全程所用时间t（秒）； （4）完成工作量Q一定时，完成工作量所需的时间t与工人人数n（假设每个工人的 工作效率相同）. 【变式1】下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）y=+7． 例2．若函数是反比例函数，则m的值为________． 【变式】如果是反比例函数，那么n的值是________． 例3.一个长方体的体积是20cm3，它的长是ycm，宽是5cm，高是xcm.写出长y与高x之间的函数关系式. 【变式1】已知y是x的反比例函数，且时，，那么y关于x的函数解析式是________． 【变式2】已知y与成反比例，且当时，，求y与x的函数解析式． 例4.已知y是x的反比例函数，且当时，，那么当时，x的值是________． 【变式】已知反比例函数，求k的值，并求当x=时的函数值 例5.如果变量和变量成正比例，变量和变量成反比例，那么变量x和z成________比例关系． 【变式】已知，若与正比例，与成反比例函数，且当时，，当时，，求y与x间的函数关系式． 题型二：反比例函数的图像和性质 例6．已知反比例函数和 列表：取自变量的一些值，根据反比例函数的解析式，填写下表 …… …… …… …… …… …… 描点：分别以所取的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点 连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接 例7．已知反比例函数，那么当＜0时，y的值随着x的增大而________． 【变式】反比例函数在它的图像所在的每个象限内，y随x的增大而________． 【变式2】已知反比例函数，其图象在第一、第三象限内，则k的取值范围是________． 【变式3】函数的图像在一、三象限，那么k的取值范围是________． 例8．若反比例函数的图像经过点，那么函数图像在________象限． 【变式1】已知函数的图象不经过第一、三象限，则的图象经过第________象限． 例9．若正比例函数，与反比例函数的图像没有交点，那么k与m满足关系式可以是________． 例10．已知反比例函数的图像上有两点、，且，那么下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 例11．反比例函数的图像上一点的横坐标是3，那么这点到x轴的距离是________． 例12．如果反比例函数（是常数，）的图像在第二、四象限，那么正比例函数（是常数，）的图像经过哪几个象限？ 【变式1】已知反比例函数， （1）若该函数图像经过点，求k的值； （2）若该函数图像在每一象限内y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【变式2】反比例函数的图像上一点，过A点分别作轴、轴垂线，垂足为B、C； （1） 求矩形的面积； （2） 当点A沿双曲线移动时（1）中矩形面积有变化吗？为什么？ 【变式3】如图，，是反比例函数的图象上任意两点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点，记的面积为，的面积为，则和y的大小关系是：______．（填“”或“”或“"） 【变式4】如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则_______． 【变式5】函数和的图像关于轴对称，我们把函数和叫做互为“镜子”函数．类似地，如果函数和的图像关轴对称，那么我们把函数和叫做互为“镜子”函数．则函数的“镜子”函数是_______________． 【变式6】