第09讲 根的判别式及其应用-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第09讲 根的判别式及其应用 【知识梳理】 一：判别式的值与根的关系 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 二：根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 三：韦达定理 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 【考点剖析】 题型一：判别式的值与根的关系 例1．不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】已知关于的一元二次方程根的判别式的值为4，求的值． 例2.当取何值时，关于的方程， （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【变式1】一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根； B. 有两个不相等的实数根； C. 没有实数根； D. 不确定. 【变式2】关于x的方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 没有实数根； B. 有两个不相等的实数根； C. 有两个不相等的实数根； D. 有两个实数根. 【变式3】下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【变式4】当a＝ 时，关于x的方程有两个相等的实数根. 【变式5】已知方程组的解是，试判断关于的方程的根的情况． 【变式6】当为何值时，关于的方程有实数根？并求出这时方程的根（用含的代数式表示）． 题型二：根的判别式的应用 例3．证明：方程有两个不相等的实数根． 【变式1】当为何值时，方程， （1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根． 【变式2】已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【变式3】如果是实数，且不等式的解集是，那么关于的一元二次方程的根的情况如何? 【变式4】已知关于的方程总有实数根，求的取值范围． 题型三：韦达定理 例4．写出下列一元二次方程（方程的根为）的两实数根的和与两实数根的积 （1），________；________； （2）， ________；________． 【变式1】已知方程的一个根是，求另一根及值． 【变式2】已知：关于x的方程的一个根是，求另一根及值． 【变式3】如果是方程的一个根，求另一个根及值． 【变式4】已知是方程的两个根，分别根据下列条件求出的值． （1）； （2）． 【变式5】设是方程的两个根，求的值． 【变式6】已知方程的两个实根的平方和为，求的值； 【过关检测】 一．选择题（共6小题） 1．（2022秋•徐汇区期末）若方程x2﹣3x+m＝0有一根是1，则另一根是（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 2．（2022秋•青浦区校级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（　　） A． B．（x﹣2）2＝5 C．x2+2x＝0 D． 3．（2022秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0 4．（2022秋•黄浦区期中）下列方程中，无实数根的方程为（　　） A．2x2+6x＝3 B．3x2+4x+6＝0 C．x2﹣2x＝0 D．3x2﹣4x﹣6＝0 5．（2022秋•宝山区期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0，其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 6．（2022秋•闵行区期中）已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程ax2+2（b﹣c）x+a＝0的实数根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 二．填空题（共12小题） 7．（2022秋•黄浦区校级月考）方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为 　 　，积为 　 　． 8．（2022秋•普陀区校级期中）若关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，则代数式的值是 　 　． 9．（2022秋•长宁区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2+2x＝1，方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 　 　． 10．（2022秋•闵行区校级期中）若等腰三角形的一边长是2，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，