第13讲 正比例函数（3种题型）-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第13讲 正比例函数（3种题型） 【知识梳理】 一.正比例函数的概念 （1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数. （2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式. 二、正比例函数的图像 1.一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 2.图像画法：列表、描点、连线． 三、正比例函数的性质： （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 【考点剖析】 题型一：正比例函数的概念 例1．下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数． （1）； （2）； （3）； (4)． 【变式1】（1）已知是正比例函数，求m的取值范围； （2）若函数是正比例函数，那么m的值是多少？ 【变式2】已知是的正比例函数，且当时，，求与之间的比例系数，并写出函数解析式和函数定义域． 【变式3】如果是正比例函数，求出函数解析式，当取何值时，？ 【变式4】已知函数(m是常数)，当m是什么数时是正比例函数？并求出解析式． 【变式5】已知，与成正比例，与成正比例，且时，，时，求与的函数解析式． 【变式6】点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长21cm的蜡烛，点燃6分钟后，缩短3.6cm．设蜡烛点燃分钟后，缩短cm，求的函数解析式和的取值范围． 【变式7】已知是正比例函数，求的值，写出这个正比例函数的解析式，并求出当变量分别取-3，0，时的函数值． 【变式8】已知与成正比例，并且时，． （1） 写出与之间的函数关系式； （2） 当时，求的值； （3） 当时，求的值． 题型二：正比例函数的图像 例2．已知正比例函数． 列表：取自变量的一些值，根据正比例函数的解析式，填写下表． …… -1 0 1 2 …… …… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …… 描点：分别以所取的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点． 连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接． 【变式1】在同一直角坐标平面内画出下列函数图像． （1）； （2） ； （3）； （4）． 【变式2】函数的图像是经过点________、________的________． 【变式3】（1）正比例函数的图像是____________，它一定经过点_______和_______． （2）函数的图像经过点，写出函数解析式，并说明函数图 像经过哪几个象限？ 【变式4】已知与x成正比例，且x=2时，y=4； （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点(m，2m+7)，在这个函数的图象上，求m的值． 【变式5】已知正比例函数图像上的一点到x轴距离与到y轴距离之比为，则此正比例函数的解析式是________________． 【变式6】如果正比例函数的图像经过点，说明是否在这个图像上，并作出该正比例函数的图像． 【变式7】已知函数,当为何值时该函数图像经过原点？此时函数解析式是什么？ 【变式8】一个正比例函数的图像经过点A，B，求a的值． 题型三：正比例函数的性质： 例3．直线经过一、三象限，则________． 【变式1】已知正比例函数的图像经过第二、四象限，求的取值范围． 【变式2】若正比例函数，的值随的增大而减小，则_______． 【变式3】图像经过_______象限，的值随的值增大而_______． 【变式4】当=_______时，是正比例函数，图像经过第______象限． 【变式5】已知点（），（）在正比例函数的图像上，当时，，那么k的取值范围是多少？ 【变式6】正比例函数的图像经过第一、三象限，求m的值． 【变式7】函数是正比例函数，且y的值随着x的减小而增大，求k的值． 【变式8】如果正比例函数的自变量增加5，函数值减少2，那么当时，_______． 【变式9】（1）已知是经过第二、四象限的直线，且在实数范围内有意义， 求a的取值范围； （2）已知函数的值随自变量x的值增大而增大，且函数的值随自变量x的增大而减小，求m的取值范围． 【变式10】正比例函数的图像经过点和，且该图像经过第 二、四象限． (1)求m的取值范围； (2)当时，比较与的大小，并说明理由． 【过关检测】 一、单选题