1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 目录 学习任务 思维导图 复习引入 主体学习 课堂小结 学习任务 PART ONE 1.在理解空间向量基本定理的基础上掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示. 2.能正确地运用空间向量的坐标,进行向量的线性运算与数量积运算. 3.初步学会用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题. 思维导图 PART TWO 6 复习引入 PART THREE 平面向量的坐标 思考：空间向量是否可以引进类似的坐标？ 如图， 是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，取 为基底，则 这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作 主体学习 PART FOUR 如图所示，已知 =, =,且OADB-CEGF是棱长为1的正方体, 是一个长方体，为OC的中点，=2. （1）设 = ，= 将向量与都用 , 表示； （2）如果是空间中任意一个向量，怎样才能写出在基底下的分解式？ ， （2） 一、空间中向量的坐标 一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果 p=xe1+ye2+ze3, 则称有序实数组(x,y,z)为向量 p 的坐标,记作 p=(x,y,z), 其中x,y,z都称为 p 的坐标分量. 例1 已知是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： （1） ; (2) ； （3） ; (4). 解：（1） （2） （3） 12 二、空间向量的运算与坐标的关系 假设空间中两个向量,,也即是 , . 则当时，有=，由是单位正交基底和空间向量基本定理可知 ，，. 反之结论也成立. 空间中两个向量相等的充要条件是它们的坐标分量对应相等. = 所以. 类似地，可以得出，如果是两个实数，那么 = + 特别地， 当时， 例2 已知，，求下列向量的坐标： （1） （2） （3） 答案：（1）（-5，6，3） （2）（-1，3，12） （3）（-15，15，-10） 例3 已知，，求. 解： 所以 三、空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直   如果已知，的坐标，即 那么上述结论怎样用它们的坐标表示？ 可以看出，当时， 更进一步，当的每个坐标分量都不为零时，有 例4 （1）已知，且，求所要满足的关系式； （2）已知，求一个非零空间向量，使得⊥且⊥. 解：（1）因为的每一个坐标分量均不为零，因此 （2）设，则 且 将看成已知数，求解方程组可得，.因此 ， 取，可得满足条件的一个非零空间向量. 有无数个 四、空间直角坐标系 由空间向量坐标的定义可以看出，当单位正交基底的始点是同一个点O，而且空间向量的始点也是O时，空间向量的坐标实际上是由它的终点位置确定的。 （1）如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？ （2）我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置，在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序时数来刻画点在平面内的位置，那么怎样才能刻画空间中点的位置呢？ 为了确定空间点的位置,在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直. 轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合,这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面xOy,yOz,zOx叫做坐标平面,三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限,如图所示. (1)空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间,有了一一对应关系,空间一点M的位置完全由有序实数组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点M 的坐标,记作M (x,y,z).此时,x,y,z 都称为点M 的坐标分量,且x 称为点M 的横坐标(或x 坐标),y 称为点M的纵坐标(或y 坐标),z 称为点M 的竖坐标(或z 坐标). (2)八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点: Ⅰ:(+,+,+);Ⅱ:(-,+,+);Ⅲ:(-,-,+);Ⅳ:(+,-,+); Ⅴ:(+,+,-);