(教参)第7章 阶段任务性复习 三角形的内、外角性质的应用类型-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(北师大版)

三角形的内、外角性质的应用类型 问题：完成下列1～3题，并思考它们是如何利用三角形的内、外角定理求角的度数的？ 1. 如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为(　B　) A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° 解析：如图，作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠2＝∠AEF＝35°，∠1＝∠FEC. ∵∠AEC＝90°， ∴∠1＝90°－35°＝55°. 故选B. 2. 如图，有一块直角三角尺XYZ置在△ABC上，恰好三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝30°. (1)∠ABC＋∠ACB＝ 150° ； (2)∠ABX＋∠ACX＝ 60° . 解析：(1)∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∠A＝30°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A ＝180°－30°＝150°. (2)∵∠XBC＋∠XCB＋∠X＝180°，∠X＝90°， ∴∠XBC＋∠XCB＝180°－∠X＝180°－90°＝90°， ∴∠ABX＋∠ACX＝∠ABC－∠XBC＋∠ACB－∠XCB＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝150°－90°＝60°. 3. 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝∠C，试判断△ABC的形状． 解：∵在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C， ∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°， ∴∠C＝3x＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 利用三角形的内外角的性质，如“(1)三角形的外角与它相邻的内角互补；(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的内角和是180°”进行与角有关的计算或证明，结合有关思想在求角的度数时应用较广，值得我们去思考借鉴． 类型1　利用整体思想求角的度数 探究某个角与其余两角的和的关系时，常常利用整体思想解题，而不用考虑求解每个角的度数． 【例1】如图，在△ABC中，D，E分别在边AB，AC上． 图1 图2 (1)如图1，∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？并说明理由； (2)把图1的△ABC沿DE折叠，得到图2，填空：∠1＋∠2 ＝ (填“>”“<”或“＝”)∠B＋∠C； (3)当∠A＝55°时，求∠B＋∠C＋∠1＋∠2的度数． 解：(1)∠1＋∠2＝∠B＋∠C.理由如下： 在△ADE中，∠1＋∠2＝180°－∠A. 在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠A. ∴∠1＋∠2＝∠B＋∠C. (3)当∠A＝55°时， ∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝2(∠B＋∠C)＝2×(180°－55°)＝2×125°＝250°. 【练习】 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是△ABC的高． (1)如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数； (2)如图2(∠B＜∠C)，求出∠DAE，∠B，∠C之间的数量关系； (3)如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的平分线交于点G，求∠G的度数． 解：(1)∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠BAC＝80°. ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°. ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°. ∵∠C＝60°， ∴∠CAE＝90°－60°＝30°， ∴∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝10°. (2)∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC. ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°－∠C， ∴∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝∠BAC－(90°－∠C)＝(180°－∠B－∠C)－90°＋∠C＝∠C－∠B，即∠DAE＝∠C－∠B. (3)∵∠CAE和∠BCF的平分线交于点G， ∴∠CAE＝2∠CAG，∠FCB＝2∠FCG. ∵∠CAE＝∠FCB－∠AEC，∠CAG＝∠FCG－∠G， ∴∠CAE＝2∠FCG－∠AEC＝2∠CAG＝2(∠FCG－∠G)＝2∠FCG－2∠G， 即2∠FCG－∠AEC＝2∠FCG－2∠G， ∴∠AEC＝2∠G. ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°， ∴∠G＝45°. 类型2　利用方程思想求角的度数 结合三角形外角的性质2，运用三角形的内角和为180°，可列方程求角的度数． 【例2】如图，在△ABC和△ADE中，C，D两点分别在AE，AB上，BC与DE相交于点F，且BD＝CD＝CE. (1)若∠B＝30°，∠E＝20°，求∠A的度数； (2)若∠B＝x，∠E＝y，请用含x，y的代数式表示∠A的度数． 解：(1)∵BD＝CD＝CE， ∴∠B＝∠DCB，∠E＝