(教参)第5章 6 二元一次方程与一次函数-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(北师大版)

6　二元一次方程与一次函数 学习目标 1. 初步理解一次函数与二元一次方程(组)的关系 2. 体会通过画一次函数图象求二元一次方程组的近似解 素养目标 1. 通过解决二元一次方程和函数的关系增强数形结合意识和能力 2. 能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组，发展几何直观意识 一、二元一次方程与一次函数 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象 相同 ，是一条 直线 ． 如图，y＝kx＋b(k≠0)过点A(2,0)和点B(0，－1)，则方程kx＋b＝0解是(　D　) A. x＝－1 B. x＝1 C. x＝－2 D. x＝2 解析：因为y＝kx＋b(k≠0)过点A(2,0)， 所以x＝2时，y＝0，所以方程kx＋b＝0解是x＝2. 二、二元一次方程组与一次函数 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的 二元一次方程组 的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的 坐标 ． 1. 已知直线y＝2x与y＝－x＋b的交点的坐标为(1，a)，则方程组的解是(　A　) A. B. C. D. 解析：因为直线y＝2x经过(1，a)，所以a＝2， 所以交点坐标为(1,2)． 因为方程组的解就是两个一次函数的交点坐标， 所以方程组的解是 2. 如图，是一次函数y1＝ax＋b和y2＝－bx＋a(a≠0，b≠0)在同一坐标系的图象，则的解中(　A　) A. m＞0，n＞0 B. m＞0，n＜0 C. m＜0，n＞0 D. m＜0，n＜0 解析：因为方程组的解即是一次函数y1＝ax＋b和y2＝－bx＋a的交点坐标， 由图象可知，交点(m，n)在第一象限， 所以m＞0，n＞0. 　直线的位置关系与方程组的解 二元一次方程x－2y＝0的解有无数个，其中它有一个解为所以在平面直角坐标系中就可以用点(2,1)表示它的一个解， 探究1：请在下图中的平面直角坐标系中再描出三个以方程x－2y＝0的解为坐标的点． 解：二元一次方程x－2y＝0的解可以为 所以以方程x－2y＝0的解为坐标的点分别为(2,1)，(4,2)，，. 它们在平面直角坐标系中的图象如图所示．(答案不唯一) 探究2：过这四个点中的任意两点作直线，你有什么发现？直接写出结果． 解：由探究1的图知四个点在一条直线上． 探究3：以方程x－2y＝0的解为坐标的点的全体叫做方程x－2y＝0的图象．想一想，方程x－2y＝0的图象是什么？(直接回答) 解：由原方程，得y＝， 因为以方程x－2y＝0的解为坐标的点的全体叫做方程x－2y＝0的图象， 所以方程x－2y＝0的图象就是正比例函数y＝的图象． 因为正比例函数y＝的图象是经过第一、三象限且过原点的一条直线， 所以方程x－2y＝0的图象是经过第一、三象限且过原点的一条直线． 探究4：由探究3的结论，在同一平面直角坐标系中，画出二元一次方程组的图象(画在图中)，由这两个二元一次方程的图象，能得出这个二元一次方程组的解吗？请将表示其解的点P标在平面直角坐标系中，并写出它的坐标． 解：①对于方程x＋y＝1， 当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝1. 所以方程x＋y＝1经过(0,1)，(1,0)这两点． ②对于方程2x－y＝2， 当x＝0时，y＝－2；当y＝0时，x＝1. 所以方程2x－y＝2经过(0，－2)，(1,0)这两点． 综上所述，在平面直角坐标系中画出的二元一次方程组的图象如图所示． 故原方程组的解是并且能在坐标系中用P(1,0)表示． 1. 请在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y＝x＋2和y＝x－3的图象． (1)这两个函数的图象有什么位置关系？ (2)你能从图象中找出一组数作为方程组的解吗？请说明理由． 解：如图， (1)根据图象得到直线y＝x＋2和y＝x－3平行． (2)由于两直线平行，所以从图象中不能找出一组数作为方程组的解． 2. 如图1，点A的坐标为(－1,1)． (1)那么点B，点C的坐标分别为　(－2,2)　，　(0,0)　； (2)若一个关于x，y的二元一次方程，有两个解是和 请写出这个二元一次方程，并检验说明点C的坐标值是否是它的解； (3)任取(2)中方程的又一个解(不与前面的解雷同)，将该解中x的值作为点D的横坐标，y的值作为点D的纵坐标，在图1中描出点D； (4)在图1中作直线AB与直线AC，则直线AB与直线AC的位置关系是 重合 ，点D与直线AB的位置关系是 点D在直线AB上 ； (5)若把直线AB叫做(2)中方程的图象，类似地请在图2上画出二元一次方程组中两个二元一次方程的图象，并用一句话来概括你对二元一次方程组的解与它图象之间的发现． 图1　　　　　　　　图2 解：(2)根据得这个二元一次方程为x＋y＝0.