(教参)第3章 阶段任务性复习 平面直角坐标系中求几何图形的面积-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(北师大版)

平面直角坐标系中求几何图形的面积 问题：完成下列1～3题，思考平面直角坐标系中求面积的思路． 1. 已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(－3，－1)，B(1,3)，C(2，－3)． (1)在平面直角坐标系中描出各点并画出△ABC； (2)求△ABC的面积． 解：(1)如图，△ABC即为所求． (2)S△ABC＝5×6－×4×4－×2×5－×1×6＝30－8－5－3＝14. 2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(4,5)，B(2,4)，C(2，2)，D(4,3)．(每个方格的边长均为1个单位长度) (1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于x轴对称； (2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形A1B1C1D1关于y轴对称； (3)直接写出四边形ABCD的面积． 解：(1)如图，四边形A1B1C1D1即为所求． (2)如图，四边形A2B2C2D2即为所求． (3)四边形ABCD的面积为2×2＝4. 3. 已知四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(0，0)，B(1,2)，C(5,4)，D(7,0)． (1)建立平面直角坐标系，并画出四边形ABCD； (2)求四边形ABCD的面积． 解：(1)如图，四边形ABCD即为所求． (2)如图，过点B作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F， 则S四边形ABCD＝×1×2＋×(2＋4)×4＋×2×4＝17. 在平面直角坐标系中，点P(a，b)到x轴的距离等于|b|，到y轴的距离等于|a|，若P(a，b)，Q(a，c)，M(d，b)(a≠0，b≠0，b≠c，a≠d)，则PM∥x轴，PQ∥y轴，PM的长为|a－d|，PQ的长为|b－c|.利用这些知识能够构成图形的高或底边，从而求在平面直角坐标系中几何图形的面积． 类型1　求三角形面积 方法1　求三角形面积的关键是确定某条边的长及这条边上的高，如果在坐标系中，某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边上的两个顶点的坐标易求出这条边的长，根据这条边所对的顶点的坐标可求出这条边上的高． 【例1】△ABC三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(4,5)，C(－1,2)，求△ABC的面积． 解：因为A，B两点的横坐标相同， 所以AB∥y轴， 所以AB＝5－1＝4. 因为C(－1,2)， 所以点C到AB的距离＝4－(－1)＝5， 所以S△ABC＝×4×5＝10. 【练习】 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标为A(－3,0)，B(－3，－3)，C(－1，－3)，求Rt△ABC的面积． 解：SRt△ABC＝AB·BC＝×3×2＝3. 方法2　若在平面直角坐标系中，三角形没有边在坐标轴上且没有边平行于坐标轴，则需添加辅助线将图形转化为有边平行于坐标轴或在坐标轴上的图形进行计算． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，B(－4,2)，C(－2,0)，且点P(a，b)是△ABC边上的任意一点，△ABC关于y轴对称得到△A1B1C1，点P(a，b)的对应点为P(－a，b)． (1)点A1的坐标为　(3,4)　； (2)在图中画出△A1B1C1； (3)求出△ABC的面积． 解：(2)如图，△A1B1C1即为所求． (3)如图，作长方形CDEF，则CF＝2，CD＝4，AE＝1，BE＝2，BF＝2，AD＝1， 所以S△ABC＝CF·CD－AD·CD－AE·BE－BF·CF ＝2×4－×1×4－×1×2－×2×2 ＝8－2－1－2＝3. 【练习】 如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0,0)，B(7,1)，C(4,5)．求△ABC的面积． 解：S△ABC＝7×5－×5×4－×4×3－×7×1＝15.5. 类型2　求四边形的面积 方法1　分割法，把不规则图形分割成几个规则图形，再通过计算各部分的面积的和得出结果． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0,0)，A(0,12)，B(－10,8)，C(－14,0)，求四边形OABC的面积． 解：如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D， 因为B(－10,8)，所以D(－10,0)， 所以OD＝10，BD＝8. 因为A(0,12)，C(－14,0)， 所以OC＝14，OA＝12，所以CD＝4， 所以S四边形OABC＝S△BCD＋S四边形OABD ＝BD·CD＋(BD＋OA)·OD ＝×8×4＋×(8＋12)×10 ＝16＋100＝116. 【练习】 已知四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(0，0)，B(1,2)，C(3,4)，D(4,0)． (1)请建立平面直角坐标系，并画出四边形ABCD； (2)求四边形ABCD的面积． 解：(1)如图，四边形A