(教参)第2章 阶段任务性复习 二次根式化简求值的方法-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(北师大版)

二次根式化简求值的方法 问题：完成下列1～4题，想一想二次根式化简求值有哪几种思路方法？ 1. 要使有意义，则(　A　) A. x≥－5 B. x≤－5 C. x＜－5 D. x＞－5 解析：由题意，得x＋5≥0，解得x≥－5. 2. 已知y＝－＋2，则xy的值为(　D　) A. 8 B. ±8 C. ±9 D. 9 解析：依题意有3－x≥0，x－3≥0， 解得x＝3，所以y＝2，所以xy＝32＝9. 3. 已知x＝－1，y＝＋1.求＋的值． 解：＋＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝6. 4. 已知x＝－，y＝＋.求x2＋xy＋y2的平方根． 解：因为x＝－，y＝＋， 所以x＋y＝－＋＋＝2. xy＝(－)(＋)＝7－5＝2. 所以x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝(2)2－2＝28－2＝26， 所以x2＋xy＋y2的平方根为±. 方法1　利用算术平方根的非负性化简求值 在解算术平方根类的二次根式时，要考虑算术平方根的非负性，对于的化简，不要写成a，应该先写成绝对值的形式，再根据a的符号化简，即＝|a|＝ 【例1】已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简＋－. 解：＋－ ＝|a|＋|b－2|－|a－b| ＝－a＋(b－2)－(b－a) ＝－a＋b－2－b＋a ＝－2. 【练习】 已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简＋|a＋b|＋|－a|－. 解：由数轴可知a＜b＜0， 所以a＜0，a＋b＜0. 因为＞0， 所以－a＞0，b－＜0， 所以原式＝|a|－(a＋b)＋－a－|b－| ＝－a－a－b＋－a＋(b－) ＝－3a－b＋＋b－ ＝－3a. 方法2　利用二次根式的双重非负性化简求值 当出现两个以上的二次根式时，如果出现被开方数互为相反数，可以根据二次根式的双重非负性，求出未知数的值，从而化简求值． 【例2】请认真阅读下列这道例题的解法，并完成后面两问的作答： 例：已知y＝＋＋2 022，求的值． 解：由x－2 021≥0,2 021－x≥0，解得x＝2 021，所以y＝2 022. 所以＝. 请继续完成下列两个问题： (1)若x，y为实数，且y＞＋＋2，化简：； (2)若y·＋＝y＋2，求的值． 解：(1)由x－3≥0,3－x≥0， 解得x＝3， 所以y＞2. 所以＝＝1. (2)由2x－2≥0,1－x≥0， 解得x＝1，所以0＝y＋2，解得y＝－2. 所以＝3. 【练习】 若x，y为实数，且y<＋＋3，化简：|y－3|－＝ －1 . 解析：因为x－1≥0,1－x≥0， 所以x≥1，x≤1， 所以x＝1. 又因为y＜＋＋3， 所以y＜3， 所以|y－3|－＝3－y－(4－y)＝－1. 方法3　利用整体思想化简求值 当出现复杂的二次根式时，利用整体代入思想把二次根式通过适当变形来计算． 【例3】已知x＝，y＝，求代数式(x－y)2＋xy的值． 解：因为x＝＝＝－1， y＝＝＝＋1， 所以原式＝(－1－－1)2＋(－1)·(＋1) ＝4＋2－1＝5. 【练习】 已知x＝，y＝，求＋的值． 解：因为x＝，y＝， 所以x＋y＝＋＝， xy＝·＝， 所以＋＝＝2. 方法4　利用乘法公式化简求值 二次根式应用乘法公式可以达到化简的目的，最常用的为平方差公式与完全平方公式． 【例4】已知x＝，y＝，求x2－xy＋y2的值． 解：x2－xy＋y2 ＝x2－2xy＋y2＋xy ＝(x－y)2＋xy ＝＋× ＝5＋ ＝5.5. 【练习】 1. 已知：x＝＋1，y＝－1.求代数式x2－y2的值． 解：因为x＝＋1，y＝－1， 所以x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝2×2＝4. 故代数式x2－y2的值为4. 2. 化简求值：已知x＝，y＝，求x2＋y2的值． 解：因为x＝＝＝，y＝＝＝， 所以x＋y＝，xy＝， 所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝()2－2×＝6. 1 学科网（北京）股份有限公司 $