(教参)第2章 阶段任务性复习 二次根式的常考题型-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(北师大版)

二次根式的常考题型 问题：完成下列1～5题，想一想二次根式有哪些常考题型？ 1. 要使式子有意义，a的取值范围是(　D　) A. a≠2 B. a≥0 C. a＞0且a≠2 D. a≥0且a≠2 解析：根据题意，得a≥0且a－2≠0， 解得a≥0且a≠2. 2. 下列等式成立的是(　D　) A. 4＋3＝7 B. ×＝ C. ÷＝2 D. (－)2＝3 3. 与结果相同的是(　A　) A. 3－2＋1 B. 3＋2－1 C. 3＋2＋1 D. 3－2－1 4. 计算：·＝(　B　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 解析：· ＝× ＝× ＝ ＝＝1. 5. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n－mn－3n，如：1※2＝12×2－1×2－3×2＝－6.计算：※(－2)． 解：※(－2) ＝()2×(－2)－×(－2)－3×(－2) ＝－6＋2＋6 ＝2. 题型1　二次根式的双重非负性 二次根式的双重非负性，即≥0，a≥0. 【例1】当x取何值时，＋4的值最小？最小值是多少？ 解：因为≥0， 所以当5x－1＝0，即x＝时，＋4有最小值4. 【练习】 如果是二次根式，那么x，y应满足的条件是(　C　) A. x≥1，y≥0 B. (x－1)·y≥0 C. ≥0 D. x≥1，y＞0 解析：根据二次根式有意义的条件可知， x，y满足≥0时，是二次根式． 题型2　二次根式的化简及混合运算 对于二次根式的化简问题，根据定义，也可以利用＝|a|这一性质求未知数的值，当字母的取值范围不确定时，应进行分类讨论，从而化简求值． 一般地，对于型的根式，可采用观察法进行配方，即找出x，y(x>y>0)，使得xy＝b，x＋y＝a，则a±2＝(±)2，于是＝＝±，从而使得到化简． 【例2】若y＝＋－6，则xy＝　－3　. 解析：由题意可知，x－≥0，－x≥0， 所以x＝，所以y＝0＋0－6＝－6， 所以xy＝－3. 【练习】 1. 若2,5，m是某三角形三边的长，则＋＝(　D　) A. 2m－10 B. 10－2m C. 10 D. 4 解析：因为2,5，m是某三角形三边的长， 所以5－2＜m＜5＋2， 故3＜m＜7， 所以＋ ＝m－3＋7－m ＝4. 2. 将化为最简二次根式，其结果是(　D　) A. B. C. D. 题型3　利用二次根式比较大小 二次根式比较大小最常用的几种方法有平方法、作商法、分子分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法及定义法，根据二次根式特点，灵活运用． 【例3】比较与的大小． 解：因为＝＝＋1， ＝＝＋1， 且＞， 所以＋1＞＋1， 所以＞. 【练习】 比较－与－的大小． 解：因为－＝， －＝， 且＋＞＋， 所以＜， 所以－＜－. 题型4　利用乘法公式进行探究 二次根式应用乘法公式可以达到化简的目的，最常用的是平方差公式与完全平方公式． 【例4】在二次根式中，如：(2＋)(2－)＝1，(＋)(－)＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解： 如＝＝，＝＝7＋4.像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)4－的有理化因式可以是　4＋　，分母有理化得　　. (2)已知x＝，y＝，求x2＋y2的值． 解：(2)当x＝＝＝＝2＋， y＝＝＝＝2－时， x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝(2＋＋2－)2－2×(2＋)×(2－)＝16－2×1＝14. 【练习】 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：化简：＝＝＝＝－1，则＝－，＝－，＝－，…. (1)请直接写出下列式子的值：＝　－　；＝　10－3　. (2)请利用材料给出的结论，计算：＋＋＋…＋的值． (3)请利用材料提供的方法，计算＋＋＋…＋的值． 解：(2)＋＋＋…＋ ＝－1＋－＋－＋…＋－ ＝－1 ＝10－1 ＝9. (3)＋＋＋…＋ ＝×(－1＋－＋－＋…＋－) ＝×(－1) ＝. 题型5　定义新运算 解决二次根式定义新运算问题，关键是要正确理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序进行计算． 【例5】对于任意的正数m，n定义运算※为m※n＝计算(3※2)×(2※3)的结果为(　B　) A. 4 B. 1 C. D. －1 解析：因为m※n＝ 所以(3※2)×(2※3) ＝(－)×(＋) ＝()2－()2 ＝3－2 ＝1. 【练习】 对于任意不相等的两个正实数a，b，新定义一种运算“*”如下：a*b＝，那么2*6=　2　. 5 学科网（北京）股份有限公司 $