(教参)第1章 阶段任务性复习 勾股定理在最短路程中的应用类型-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(北师大版)

勾股定理在最短路程中的应用类型 问题：完成下列1～5题，想一想勾股定理在最短路程中的应用有哪几种类型？ 1. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9,3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是(　D　) A. 6 B. 8 C. 9 D. 15 解析：将台阶展开，如图， 因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9， 所以AB2＝AC2＋BC2＝225， 所以AB＝15， 所以蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是15. 故选D. 2. 如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处相距河岸的距离AC，BD分别为500 m和300 m，且C，D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水，再赶回家，那么牧童最少要走　1 000　m. 解析：如图，作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为牧童走路的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E， 因为CD＝600 m，BD＝300 m，AC＝500 m， 所以A′C＝AC＝500 m，CE＝BD＝300 m，CD＝BE＝600 m， 所以A′E＝A′C＋CE＝500＋300＝800(m)． 在Rt△A′EB中，A′B＝1 000 m， 即牧童最少要走1 000 m. 3. 如图，一棱长为3 cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形，其边长都为1 cm，假设一只蚂蚁从下底面点A沿表面爬行至侧面的点B，则最少要爬　5　cm. 解析：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，从各个路线中确定最短的路线．①展开前面右面，由勾股定理，得AB2＝52＋22＝29； ②展开底面右面，由勾股定理，得AB2＝42＋32＝25. 因为29>25，所以最短路径长为5 cm. 4. 如图，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要　10 cm　. 解析：将长方体展开，如图，连接AB′， 因为AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6 cm， 所以根据两点之间线段最短及勾股定理，得 AB′＝10 cm. 类型1　平面图形中的最短路程问题 解决平面图形中的最短路程问题时，一般利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”，把已知问题转化为更容易解决的问题． 【例1】有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处竖立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”，请你帮小明计算标牌的▇应填写的数． 解：由勾股定理易得AB＝25 m， 故居民直接到B时要走AB＝25 m，若A处居民不践踏绿地应走AC＋BC＝24＋7＝31(m)， AC＋BC－AB＝31－25＝6(m)． 故在标牌▇的地方应该填写的数为6. 【练习】 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为　480　m. 类型2　立体图形中的最短路程问题 解决立体图形中的最短路程问题时，利用“化曲为平”的思想方法，依据“两点之间线段最短”，将立体图形问题转化为平面图形问题．解题的思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”；利用平移把“折”转“直”；利用平面展开图把“折”转“直”． (1)圆柱体上的最短路程问题 【例2】如图，圆柱的高为8 cm，底面直径为4 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少厘米？(π≈3) 解：如图，将此圆柱展成平面图， 因为圆柱的高为8 cm，底面直径为4 cm， 所以AC＝8 cm，BC＝BB′＝×4π≈6(cm)，所以AB＝10 cm. 答：它沿圆柱侧面爬行的最短路程是10 cm. 【练习】 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 m的半圆，其边缘AB＝CD＝15 m，点E在CD上，CE＝3 m，一滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离约为　20　m．(边缘部分的厚度忽略不计) 解析：如图是其侧面展开图， AD＝π×＝16(m)，AB＝CD＝15 m. DE＝CD－CE＝15－3＝12(m)． 在Rt△ADE中，AE＝20 m. 故他滑行的最短距离约为20 m. (2)正方体上的最短路程问题 【例3】如图，在正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现在要向点B处爬行，已知正方体的棱长为3 cm，BC＝1 cm，则爬行的最短距离是多少？ 解：将正方体展开，如图， 在Rt△ABD中，因为∠ADB＝90°，BC＝1 cm，AD＝3＋1＝4