专题3.9 函数的实际应用（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题3.9 函数的实际应用 【核心素养】 以各种基本初等函数为载体，结合实际问题，求解利润问题、价格问题，以及科学研究、社会生活中的热点问题，凸显数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养． 知识点一 常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0). (2)反比例函数模型：y＝(k≠0). (3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0). (4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0). (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0). 知识点二 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 知识点三 解答函数应用题的一般步骤 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 常考题型剖析 题型一：一次函数与分段函数模型 【典例分析】 例1-1.（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）某种货物的进价下降了x%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率（）由原来的15%增加到25%，则x的值等于（    ） A．8 B．15 C．25 D．20 例1-2.（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三挡：月用电量不超过200度的部分按元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按元/度收费，超过400度的部分按元/度收费.    (1)求某户居民月用电费（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占，求的值. 【规律方法】 1.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法． 2.分段函数模型的求解策略 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点． (2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)． 【变式训练】 变式1-1. （2023·全国·高三对口高考）2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税的决定，工薪所得减去费用标准从800元提高到1600元也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月1日开始超过了1600元才需要纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表： 级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过500元 5 2 500~2000元 10 3 2000~5000元 15 某人2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只要交税（    ）元． A．43 B．2280 C．680 D．不能确定 变式1-2.（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的 提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为元．试求： (1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？ (2)若某销售员、月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？ 题型二：函数模型的拟合问题 例2-1.（2023·全国·高三专题练习）科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含