4-5 复数 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

4-5 复数 1.通过方程的解，认识复数. 2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 4-5 复数 1 一、主干知识 2 考点1：复数的有关概念 2 考点2：复数的几何意义 3 考点3：复数的四则运算 3 【常见结论总结】 3 二、分类题型 4 题型一 复数的概念 5 题型二 复数的四则运算 5 题型三 复数的几何意义 6 三、分层训练：课堂知识巩固 7 一、主干知识 考点1：复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位． (2)复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 考点2：复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 考点3：复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. 【常见结论总结】 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)． 4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)． 5．复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 二、分类题型 题型一 复数的概念 【例题精析1】 已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B．5 C． D．2 【例题精析2】 在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例题精析3】 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【例题精析4】 已知复数是关于的方程的一个根，则__________. 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 【对点精练1】 已知复数（其中为虚数单位），则实数_________． 【对点精练2】 在复平面内，复数对应的点为，则__________. 【对点精练3】 设复数满足（为虚数单位），则________. 【对点精练4】 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数为___________. 【对点精练5】 已知是虚数单位，则复数的实部是_____. 【对点精练6】 设复数，满足，，则=__________. 【对点精练7】 设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则__________． 题型二 复数的四则运算 【例题精析5】 已知是虚数单位，化简的结果为_________． 【例题精析6】 若复数z满足，则z的共轭复数的虚部为________. 【例题精析7】 复数（为虚数单位）是实系数方程的一个解，则实数__________． 【例题精析8】 复数，则__________． (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 【对点精练8】 i是虚数单位，则复数______. 【对点精练9】 是虚数单位，复数_______________. 【对点精练10】 复数的虚部是______ 【对点精练11】 已知，复数，若的虚部为1，则_________. 题型三 复数的几何意义 【例题精析9】 复数在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是____