4-3 平面向量的数量积 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

4-3 平面向量的数量积 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题． 4-3 平面向量的数量积 1 一、主干知识 1 考点1：向量的夹角 2 考点2：平面向量的数量积 2 考点3：平面向量数量积的几何意义 2 考点4：向量数量积的运算律 2 考点5：平面向量数量积的有关结论 2 【重要结论总结】 2 二、分类题型 3 题型一 平面向量数量积的基本运算 4 题型二 平面向量数量积的应用 7 命题点1　向量的模 7 命题点2　向量的夹角 9 命题点3　向量的垂直 11 题型三 平面向量的实际应用 15 三、分层训练：课堂知识巩固 21 一、主干知识 考点1：向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 考点2：平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 考点3：平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e. 考点4：向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 考点5：平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ 【重要结论总结】 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b. (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 二、分类题型 题型一 平面向量数量积的基本运算 【例题精析1】 已知向量在向量上的投影向量是，且，则（    ） A． B． C． D． 【例题精析2】 已知向量，则在向量上投影的数量为___________. 【例题精析3】 已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是___________. 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义． 【对点精练1】 在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 【对点精练2】 在中，，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．12 【对点精练3】 已知，，，则在方向上的投影为___________. 【对点精练4】 已知向量，，且，则向量在方向上的投影为______． 【对点精练5】 设非零向量满足，则的最大值为_________. 【对点精练6】 已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为______． 题型二 平面向量数量积的应用 命题点1　向量的模 【例题精析4】 已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则________. 【例题精析5】 已知为单位向量，且满足，则______. 【例题精析6】 若，是两个互相垂直的单位向量，且向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案均不对 命题点2　向量的夹角 【例题精析7】 若平面向量与满足，且，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例题精析8】 向量，，若、的夹角为钝角，则的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 【例题精析9】 已知向量，，，满足，且，，则＝______． 命题点3　向量的垂直 【