4-2 平面向量基本定理及坐标表示 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

4-2 平面向量基本定理及坐标表示 1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 4-2 平面向量基本定理及坐标表示 1 一、主干知识 1 考点1：平面向量基本定理 1 2．平面向量的正交分解 2 3．平面向量的坐标运算 2 4．平面向量共线的坐标表示 2 二、分类题型 2 题型一 平面向量基本定理的应用 2 题型二 平面向量的坐标运算 3 题型三 向量共线的坐标表示 4 三、分层训练：课堂知识巩固 5 一、主干知识 考点1：平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 二、分类题型 题型一 平面向量基本定理的应用 【例题精析1】 已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例题精析2】 在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（    ） A． B． C． D． (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 【对点精练1】 在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【对点精练2】 如图，在平行四边形中，M，N分别为，上的点，且，，连接，交于P点，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型二 平面向量的坐标运算 【例题精析3】 已知，若，则点的坐标为（    ） A．(－2，3) B．(2，－3) C．(－2，1) D．(2，－1) 【例题精析4】 已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【例题精析5】 已知向量，若，则实数（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例题精析6】 向量在向量方向上的投影向量的坐标为____________. 【例题精析7】 已知向量，，，若点，，三点共线，则实数_________． 向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体． 题型三 向量共线的坐标表示 【例题精析8】 已知向量，，且．则的值为（    ） A． B．0 C． D．不存在 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)． 【对点精练3】 已知的顶点，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【对点精练4】 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【对点精练5】 若向量，，，且，则（    ） A． B． C． D．1 【对点精练6】 平面四边形中，，，，，，点在直线上，点在直线上，且，，，则的最小值为______. 三、分层训练：课堂知识巩固 1．（2023•浠水县校级三模）在平行四边形中，．若，则　　 A． B． C． D． 2．（2023•高州市二模）已知向量，，若与平行，则实数的值为　　 A． B． C．6 D． 3．（2023•安康模拟）已知向量，若与共线，则　　 A． B． C． D．5 4．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则　　 A． B． C． D． 5．（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是　　 A． B． C． D． 6．（2019•北京）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2018•新课标Ⅰ）在中，为边上的中线