4-1 平面向量的概念及其线性运算 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

4-1 平面向量的概念及线性运算 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义. 2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 4-1 平面向量的概念及线性运算 1 一、主干知识 1 考点1：向量的有关概念 2 考点2：向量的线性运算 2 考点3：向量共线定理 2 【常用结论总结】 2 二、分类题型 3 题型一 向量的基本概念 4 题型二 平面向量的线性运算 5 命题点1　向量加、减法的几何意义 5 命题点2　向量的线性运算 5 命题点3　根据向量线性运算求参数 6 题型三 共线定理及其应用 7 三、分层训练：课堂知识巩固 8 一、主干知识 考点1：向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点2：向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 考点3：向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 【常用结论总结】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋)． 4．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 二、分类题型 题型一 向量的基本概念 【例题精析1】 设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题精析2】 已知非零向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【例题精析3】 给出下面四个结论，其中正确的结论是（    ） A．若线段，则向量 B．若向量，则线段 C．若向量与共线，则线段 D．若向量与反向共线，则 平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)是与a同方向的单位向量． 【对点精练1】 已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【对点精练2】 设是非零向量，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【对点精练3】 *平面向量满足，则的取值范围为____. 题型二 平面向量的线性运算 命题点1　向量加、减法的几何意义 【例题精析4】 △中，边上的点满足，，点在三角形内，满足，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．12 【例题精析5】 在中，若，则面积的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【例题精析6】 已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是______ 【例题精析7】 已知向量满足，则的取值范围是__________． 命题点2　向量的线性运算 【例题精析8】 已知的面积为，点满足，则的面积等于__________． 【例题精析9】 已知，设，则实数____________. 【例题精析10】 在中，是上的点，若，则实数的值为___________. 【例题精析11】 在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则λ+μ=_________． 命题点3　根据向量线性运算求参数 【例题精析12】 在中，已知，，与交于点O.若，则________. 【例题精析13】 如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是_____． 【例题精析14】 已知平面上四点满足，则________. 平面向量线性运算的