湖南省三湘名校教育联盟2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷

2022-2023学年湖南省·三湘名校教育联盟·高二下期末考试数学试卷 一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项) 1. 已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2. 已知复数满足,则( ) A. B. C. D. 3. “”是“,,成等比数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 随着疫情结束,自行车市场逐渐回暖,通过调查,收集了个商家对某品牌的自行车的售价百元和月销售量百辆之间的一组数据如下表所示: 售价 , 销售量 根据计算可得与的经验回归方程是,则的值为( ) A. B. C. D. 5. 端午节三天假期中每天需安排一人值班,现由甲、乙、丙三人值班,且每人至多值班两天,则不同的安排方法有( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 若存在实数,使得,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足,且,,则( ) A. B. C. D. 8. 如图,已知,是双曲线的左、右焦点,,为双曲线上两点,满足,且,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求) 9. 已知函数,则下列说法正确的是( ) A. 是奇函数 B. 为偶函数 C. 的值域为 D. 在上是减函数 10. 已知平面向量,,,则下列说法错误的是( ) A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 且,则或 11. 已知圆和圆,,分别是圆,圆上的动点,则下列说法正确的是( ) A. 圆与圆有四条公切线 B. 的取值范围是 C. 是圆与圆的一条公切线 D. 过点作圆的两条切线,切点分别为,,则存在点,使得 12. 已知函数,设函数,则下列说法正确的是( ) A. 当时,若为奇函数,则 B. 当时,若在区间上单调递减,则的取值范围是 C. 当时,若在处取得最大值为,则 D. 若将的图象向左平移个单位长度所得的图象与的图象的所有对称轴均相同,则 三、填空题(本大题共4小题,共20.0分) 13. 已知事件发生的概率为,事件发生的概率为,若在事件发生的条件下,事件发生的概率为,则在事件发生的条件下,事件发生的概率为 . 14. 已知抛物线的焦点为,是抛物线上的一点,为坐标原点,若,则 . 15. 已知,均为锐角,,且,则 . 16. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体,如图所示,已知正四面体的棱长为,若一个正方体能够在勒洛四面体中随意转动,则正方体的棱长的最大值为 . 四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 本小题分 已知数列的前项和为,,且 求数列的通项公式 记,求数列的前项和. 18. 本小题分 某中学举行春季研学活动,为了增加趣味性,在研学活动中设计了一个摸奖获赠书的游戏,在一个不透明的盒子中有质地、大小相同的球个,将个球编号为,其中红球个,黄球个,蓝球个,每次不放回地随机从盒中取一个球,当三种颜色的球都至少有一个被取出时,停止取球,游戏结束,取球次数最少将获得奖励. 求当游戏结束时盒子里恰好只剩下一个球且为红球的概率 停止取球时,记盒子中所剩球的个数为,求的分布列与数学期望. 19. 本小题分 如图,直三棱柱中,平面平面. 证明: 若,为上一点,且,求二面角的余弦值. 20. 本小题分 记的内角,,的对边分别为,,,已知,且 证明: 若为锐角三角形,且,求的取值范围. 21. 本小题分 已知函数 若在定义域上单调递增,求的取值范围 若恒成立,求实数的值. 22. 本小题分 已知为椭圆上一点,且点在第一象限,过点且与椭圆相切的直线为. 若的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值,并求出该定值 如图,,分别是椭圆的过原点的弦,过,,,四点分别作椭圆的切线,四条切线围成四边形,若,求四边形周长的最大值. 答案和解析 1.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查并集运算,属于基础题. 【解答】 解:,,所以, 故选B. 2.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了复数的运算,属基础题. 【解答】 解:因为,则,所以. 3.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查充分必要条件判定,等比数列性质,属于基础题. 【解答】 解:若,,成等比数列,则 若,令,满足,但此时,,不构成等比数列 ,故选C. 4.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了回归直线方程,属于基础题. 【解答】 解:售价平均,则, 销售量,解得. 故选D: 5.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了排列与组合的综合应用,属基础题. 【解答】 解:若甲乙丙三人每人值班一天,则不同安排方法有种.