甘肃酒泉市敦煌中学2026-2027学年高三上学期数学（集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用）综合训练试卷

集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用 试卷整理与详解　（考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分　选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合 ，则集合 中元素的个数为（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2.曲线 在 处的切线经过点 ，则 （　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 3．若 ，则不等式 的解集是（　） A．　　　　B． C．　　　　D． 4．若函数 ，则 的单调增区间为（　） A．　　　　B． C．　　　　 D． 5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是 ， min 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期。现有一杯 的咖啡放在 的房间中，如果咖啡降温到 大约需要 min，那么降温到 大约需要（　）（参考数据：，） A． min　　　　B． min　　　　C． min　　　　D． min 6．若函数 在区间 上存在减区间，则实数 的范围是（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 7．已知 是定义在 上的连续奇函数， 是其导函数。当 时，，则不等式 的解集为（　） A．　　　　B． C．　　　　D． 8．若函数 存在唯一极值点，则实数 的取值范围是（　） A．　　　　B． C．　　　　D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则（　） A． 且 B． C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为 10．函数 （ 为自然对数的底数），则下列说法正确的是（　） A． 在 上有三个零点 B． 有最大值 C． 在 处取得极小值点 D． 既没有最大值也没有最小值 11．设函数 ，。则下列说法正确的是（　） A． 是偶函数 B． 在 处取得最小值 C．方程 有且仅有一个实根 D．对任意 ，都有 第二部分　非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知 是偶函数，且 ，当 时，，则 等于______。 13．点 是曲线 上的动点，则点 到直线 的距离的最小值为______。 14．若函数 在 处取得极大值，则实数 的取值范围为______。 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知函数 在 时， 有极值 。 （1）求 的解析式； （2）方程 在 有解，求实数 的范围； （3）求过点 的 的切线方程。 16．已知函数 （，）。 （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时，讨论函数 的极值。 17．已知函数 。 （1）当 时，求 的极值； （2）若 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围。 18．已知函数 。 （1）讨论 的单调性； （2）已知 时，若方程 有三个零点，求 的取值范围。 19．已知函数 ，。 （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）若 在区间 的最小值为 ，求 的值； （3）设 ，若 在区间 上恒成立，求 的取值范围。 参考答案 一、单选题 题目 第1 第2 第3 第4 第5 第6 第7 第8 答案 C B D C B A C B 二、多选题 题目 第9 第10 第11 答案 AC BC ABC 三、填空题 12．　　13．　　14． 四、解答题 15．（1）；　（2）；　（3）。 16．（1）（2）按 分类讨论，见详细解析。 17．（1）极小值 ，无极大值；　（2）。 18．（1）按 分类讨论，见详细解析；　（2）。 19．（1）递减区间 ，递增区间 ；　（2）；　（3）。 详细解析 一、单选题 1．答案：C。由题意 且 ，同时要求 也为整数。只有当 为完全立方数时 才是整数。在 内的完全立方数有 、、、、 共 个，对应的 分别为 、、、、。故集合 中有 个元素，选 C。 2．答案：B。。又 ，。曲线在 处的切线为 ，即 。切线过点 ，代入得 ，解得 。选 B。 3．答案：D。因为 ，所以 ，即 。二次不等式 的解集为两根之间，即 ，选 D。 4．答案：C。定义域 。 因 时 ，故 等价于 ，即 。所以单调增区间为 ，选 C。（注：卷面手写选 D，实际应为 C。） 5．答案：B。由牛顿冷却定律 ，取 、。 降温到 ：，故 ，。 降温到 ：。 两边取对数：，故 min，约为 min，选 B。（注：卷面手写选 D，实际应为 B。） 6．答案：A。。在区间 上，。 在 上存在减区间，即存在 使 ，即存在 使 。需要 小于 在 上的最大值 ，故 ，即 ，选 A。 7．答案：C。当 时条件即 。 而 ，故当 时 ，即 在 上单调递减。 又 ：当 时 且 ，故 ；当 时 且 ，故 。所以 时 。 为奇函数且连续，，故 时 。 解 ： · 时 ，需 ，得 ； · 时 ，满足； · 时 ，需 即 ，与 矛盾，无解。 故解集为 ，选 C。 8．答案：B。 定义域 。 令 ，则 。 ，令 得 ，故 在 递减、 递增，最小值 。 存在唯一极值点 方程 在 有唯一变号根 ，即 ，故 ，选 B。 （注： 时 ， 在 处唯一变号，确为唯一极值点，故闭区间含 。卷面手写选 A，实际应为 B。） 二、多选题 9．答案：AC。由 的解集为 知 ，且 、 是 的两个根。 由韦达定理：，得 ；，得 。 因 ，故 、，A 正确。 ，B 错误。 ，C 正确。 或 ，D 错误。故选 AC。 10．答案：BC。，零点为 、，只有两个，A 错误。 令 得 。 在 小于 、 大于 、 小于 ，故 为极小值点， 为极大值点，且 为最大值，B、C 正确；函数有最大值而无最小值，D 错误。故选 BC。 11．答案：ABC。 故 为偶函数，A 正确。 ； 时 、 时 ，故 处 取得最小值 ，B 正确。 令 ，， 在 上单调递减，且 时 、 时 ，故方程 有且仅有一个实根，C 正确。 当 时，，故 不恒成立，D 错误。故选 ABC。 三、填空题 12．答案：。 由 知 以 为周期，。 由偶函数 ，再由周期性 。 因 ，故 。 13．答案：。 点 （）到直线 （即 ）的距离为 设 ，则 令 ，， 单调递增且 ，故 时 、 时 ， 在 递减、 递增，。 故最小距离 。 （注：卷面手写答案 与此不符，正确结果应为 。） 14．答案：。 在 处取得极大值，则 为极值点，，故 。 此时 ，零点为 、。 要使 为极大值点，需 在 附近由正变负，即需 （此时 时 ），故 。故 的取值范围为 。 四、解答题 15．（1）。 由 在 处有极值 ，得 且 ，即 联立解得 ，，故 。 （验证：，在 处 且两侧变号，确为极值点，。） （2），，极值点 、。 计算端点与极值：，，，。 在 递增、 递减、 递增， 故 在 上的值域为 。 方程 在 有解，即 落在值域内，故 。 （3）设切点 ，，切线斜率 。 切线过点 ，则 ，即 整理得 ，因式分解 ，故 （另一因式无实根）。 ，切点 。 切线为 ，即 ，且该直线过 ，符合题意。 16．定义域 。 因 ，。 （1）单调性： ① ： 恒成立， 符号由 决定， 时 、递减， 时 、递增， 处取极小值。 ② ：令 得 ，比较其与 ： · 当 时 ， 在 递减、 递增、 递减； · 当 时 ，， 在 上单调递减、无极值； · 当 时 ， 在 递减、 递增、 递减。 （2）当 时： · ，极小值 、极大值 ； · ，无极值； · ，极小值 、极大值 。 17．定义域 。 （1）： 时 ，令 得 （ 舍去）。 时 、递减， 时 、递增， 故 处取得极小值 无极大值。 （2） 在 上为增函数，需 在 上恒成立，即 恒成立。 令 ，则 ，在 上最大值为 （，即 处）。 故 ，即 。 18． （1）单调性： ① ：， 符号由 决定， 时 、递减， 时 、递增， 处取极小值 。 ② ：令 得 。 · 当 时 ， 恒成立， 在 上单调递增、无极值； · 当 时 ， 在 递增、 递减、 递增， 为极大值点、 为极小值点； · 当 时 ， 在 递增、 递减、 递增， 为极大值点、 为极小值点。 （2） 属于 ，此时 。 极大值 ，极小值 ；且 时 、 时 。 方程 有三个零点，即 与 有三个交点，需极小值 极大值： 故 的取值范围为 。 19．定义域 。 （1）： 时 、递减， 时 、递增， 故递减区间为 、递增区间为 ， 处取极小值 。 （2）求 在 上的最小值： · 若 ， 递增、最小值 ，令 与 矛盾，舍去； · 若 ， 先减后增、最小值 ，令 得 ，符合； · 若 ， 递减、最小值 ，令 得 ，与 矛盾，舍去。 故 。 （3） 即 ，对 恒成立，等价于 恒成立，即 大于 在 上的最大值。 令 得 ， 在 递增、 递减， 最大值 故 ，即 。 学科网（北京）股份有限公司 $