精品解析：安徽省合肥市第七中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二年级数学学科第一次单元练习 命题人：顾雪、朱其睿 审题人：王瑞 分值：150分 考试时间：120分钟 一．选择题（本大题共8题，每题5分，共40分） 1. 在三棱锥中，（    ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 5. 如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，点Q在底面正方形内运动，满足，则点Q的轨迹长度为（ ）． A. B. C. D. 6. 若直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3题，每题6分，共18分） 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则或 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若空间向量、、满足，，则 10. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线，则切线方程为 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 三、填空题（本大题共3题，每题5分，共15分） 12. 直线与间的距离为______ 13. 已知，，动点P在直线上.则的最小值为______. 14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______. 四．解答题（本大题共5题，共77分） 15. 已知圆：. （1）求过圆心且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； （2）若直线与圆相交所得的弦长为4，求实数的值. 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且．求 （1）的长； （2）直线与所成角的余弦值． 17. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点的轨迹为圆． （1）求圆的方程 （2）若，求点的轨迹的方程． 18. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为 ，边上的高所在直线的方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）内切圆的方程． 19. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学学科第一次单元练习 命题人：顾雪、朱其睿 审题人：王瑞 分值：150分 考试时间：120分钟 一．选择题（本大题共8题，每题5分，共40分） 1. 在三棱锥中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 3. 已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出直线，的斜率，结合图象可得答案. 【详解】根据题意，，，， 则，， 结合图象可得直线的斜率k的取值范围是. 故选：D. 4. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 5. 如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，点Q在底面正方形内运动，满足，则点Q的轨迹长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，借助空间向量数量积确定点Q的轨迹即可. 【详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则， 由，得，整理得， 所以点Q的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，此圆在正方形内部， 所以点Q的轨迹长度为. 故选：C. 6. 若直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解. 【详解】由，可得圆心坐标， 因为直线过圆心， 所以，即， 所以 （当且仅当，即）取等号， 所以的最小值为， 故选：B 7. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 8. 在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆C的圆心和半径，根据数量积的几何意义，可得，进而可得点P的轨迹方程，根据直线恒过定点，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径， 又，， 所以，即在方向上的投影为， 所以，又，所以， 则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆， 又直线恒过定点， 所以， 则P到直线的距离的最大值为. 二、多选题（本大题共3题，每题6分，共18分） 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则或 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 10. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，找出圆心和半径，A、B、C三个选项分别利用“圆上点到定点距离”、“两点连线斜率”、“截距”的几何意义，结合圆心到直线距离公式求解；D选项利用“点在圆上，切线与半径垂直”的性质求出切线方程． 【详解】因为， 所以圆C的圆心，半径为. 对于A项，表示圆上的点到定点距离的平方，如图所示，    所以的最大值为， 故A项错误； 对于B项，表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示，    设，即，由题意直线与圆C有公共点， 故圆心到直线的距离， 解得，所以的最大值为，故B项正确； 对于选项C：设，则直线方程为， 当直线与圆C有公共点时，圆心到直线的距离 ，即， 即，解得，所以的最小值为，故C错误； 对于D项，设过点作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为， 由圆心到直线的距离可得，解得， 所以切线方程为，即，故D项正确； 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为4， 动点在正方体表面上（不包括边界）， 连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接， 建立空间直角坐标系如下图所示， ， ∴， ∴∥， ∵面，面， ∴∥面， ∴当点在处时，面， ∴存在点，使得∥面，故A正确； B项，在面中，， 设面的法向量为， 即，解得， 当时，， 若面，则，， ∵动点在正方体表面上， ∴，此时，与重合， ∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误； C项，因为，与的夹角为， 所以与所成的角为， 则 由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即）， 在中，，，， ∴， ∴点的轨迹长度为：，C正确； D项，为面的中心，作点关于平面的对称点， 连接，当最小时，， ∴，， ∴，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3题，每题5分，共15分） 12. 直线与间的距离为______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】将直线化为， 所以两平行直线间的距离. 故答案为：. 13. 已知，，动点P在直线上.则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】借助线段和的几何意义求解即可. 【详解】设关于直线对称对称点坐标为， 则，解得，即， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值. 【详解】曲线， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 作出曲线如图： 到直线的距离， 则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性， 只需考虑，时的情况； 当，时，曲线C的方程为， 曲线为圆心为，半径为的圆的一部分， 而到直线的距离为， 由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为. 故答案为：. 四．解答题（本大题共5题，共77分） 15. 已知圆：. （1）求过圆心且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； （2）若直线与圆相交所得的弦长为4，求实数的值. 【答案】（1）或 （2）或4 【解析】 【分析】（1）先求圆的圆心坐标，再利用待定系数法，按照直线过原点和不过原点分类讨论，求解即可； （2）先求圆心到直线的距离，再代入弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 圆的标准方程为，故圆心，半径为3. 若直线不过原点，设直线的方程为（）， 又在直线上，所以，解得，故直线的方程为； 若直线过原点，则直线的方程为，即，符合题意； 综上，直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意知到直线的距离为， 所以，解得或4. 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且．求 （1）的长； （2）直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设向量,由向量的线性运算可得，两边平方求解即可； （2）由向量的线性运算可得，，求出两向量的数量积和模，由向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 设向量, 由题意可得：, 底面为正方形，故， 由， 得， ， 因为， 所以 ， 所以， 即； 【小问2详解】 ，， 所以 ， 又， 所以， 同理可得, 设直线与所成角为 （取锐角）， 则：. 17. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点的轨迹为圆． （1）求圆的方程 （2）若，求点的轨迹的方程． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】(1)运用直接法，根据题设距离比值条件，先利用两点间距离公式列式，再化简配方求得阿氏圆方程即可；(2)运用相关点代入法，先由向量相等得到中点关系，建立主动点P与从动点Q的坐标关系式，再将P点坐标用Q点坐标表示后代入已知曲线方程，最后求出Q点的轨迹方程即可. 【小问1详解】 设 ， ∵，∴，∴， 化简得：，即： 圆的方程是：. 【小问2详解】 设 ，为中点 ∴ ，即：， 在圆上，代入 ， ， 即：， 点的轨迹的方程为：. 18. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为 ，边上的高所在直线的方程为，求： （1）顶点的坐标； （2）内切圆的方程． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由，可得直线的斜率，进而可得直线的方程，与中线的方程联立求解即可. （2）先求出顶点的坐标，再求出三角形三边所在的直线方程，求出内心的坐标、内切圆的半径即可得答案. 【小问1详解】 因为是边上的高，， 所以的斜率为． 又过点， 所以其方程为，即， 又是与中线的交点． 由中线方程得， 代入方程： 解得，所以， 所以; 【小问2详解】 点 在高: 上， 设， 则①， 又为中点， 则， 代入中线方程， 得， 则有②， 由①②解得， 即， 三角形三边所在直线方程为：，， 设内心为， 由内心到三边距离相等得： 由后两式相等得：， 从而得或， 由于直线与只相交于点，故． 代入，解得， 所以， 所以内心，内切圆半径 故内切圆的方程为：. 19. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 【答案】（1） 因为平面，且平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，所以， 又因为平面平面， 所以平面． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得，再根据直径的特点得，最后利用线面垂直的判定即可证明； （2）取中点为，连结，利用余弦定理得，再次在中利用余弦定理即可得到答案； （3）过点作，垂足为，利用线面垂直的判定定理即可得到平面，再求出，最后根据锥体的体积公式即可得到范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为平面，则为直线与平面所成的角，即， 所以，因为为中点，所以， 所以三角形为等边三角形，取中点为，连结，则， 过作交于点，则为的平面角． 在直角三角形中，， 在三角形中，由余弦定理得， 所以，所以． 在三角形中，由余弦定理得. 【小问3详解】 过点作，垂足为， 因为平面，且平面，所以， 因为平面平面， 所以平面，过点作，垂足为，连结， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以，即为点到直线的距离． 因为，所以， 所以点在的角平分线上，所以，所以， 所以点在直线上， 所以，因为， 所以，即三棱锥体积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $