第4章 因式分解——十字相乘法、拆添项法 导学案 2022-2023学年北师大版八年级数学下册

因式分解—添拆项法、十字相乘法 【知识回顾】 一、因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。 2、 因式分解的方法 （1） 提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法. 2、找公因式的一般步骤： （1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； （2）取相同的字母，字母的指数取较低的； （3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的； （4）所有这些因式的乘积即为公因式. 注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。 3、公因式的确定： (1)系数：多项式各项整数系数的公因式 (2)字母：多项式各项相同的字母； (3)各字母指数：取次数最低的． （二）公式法 把乘法公式逆运用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 1、 因式分解中的平方差公式 2、 完全平方公式： （三）分组分解法 ①将多项式分组后能提公因式进行因式分解； 例：把多项式分解因式 解：== ②将多项式分组后能运用公式进行因式分解. 例：将多项式因式分解 解： = 【新知讲解】 一、十字相乘法 （形如或形式的多项式，可以考虑运用此种方法） 1、 方法：常数项拆成两个因数，这两数的和为一次项系数 2、一般步骤：（1）竖分二次项和常数项 （2） 交叉相乘和相加 （3） 检验确定一次项系数 （4） 横斜因式 例：分解因式 分解因式 练习1：（1） （2） 练习2：阅读下列材料： 材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n） （1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2） 材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： 分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3； 二、添拆项法 通过添上或拆开某一项，将多项式化成我们熟悉的方法去分解。 添拆项法的原则：（1）配方思想的引导 （2）公式的引导 例： x2﹣2ax﹣b2﹣2ab a2﹣6a+8 x2﹣4x+3 练习1：（1）a4+10a2b2+9b4 （2） （3） 练习2：我们知道对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式可以用公式法将它们分解成（x+a）2的形式，但是，对于二次三项式x2+4ax+3a2，就不能直接用完全平方公式因式分解，可以采用如下方法： x2+4ax+3a2 =x2+4ax+4a2-a2① =（x+2a）2-a2② =（x+3a）（x+a）③ （1）在第①步中，将“+3a2”改写成“+4a2-a2”，获得的式子“x2+4ax+4a2”叫 ； （2）从第②步到第③步，运用的数学公式是 ； （3）用上述方法把a2-8a+15分解因式． 学科网（北京）股份有限公司 $