能力拓展08 利用导数多维度证明不等式（13种考向）-2024年新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用）

能力拓展08 利用导数多维度证明不等式 【命题方向目录】 命题方向一：直接法 命题方向二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造） 命题方向三：分析法 命题方向四：凹凸反转、拆分函数 命题方向五：对数单身狗，指数找朋友 命题方向六：放缩法 命题方向七：虚设零点 命题方向八：同构法 命题方向九：泰勒展式和拉格朗日中值定理 命题方向十：分段分析法、主元法、估算法 命题方向十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值 命题方向十二：函数与数列不等式问题 命题方向十三：三角函数 【方法技巧与总结】 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【典例例题】 命题方向一：直接法 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数， (1)证明 ：； (2)证明：． 例2．（2023·全国·高三专题练习）（1）证明：； （2）证明：； （3）证明：. 命题方向二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造） 例3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数． (1)证明：； (2)讨论的单调性，并证明：当时，． 例4．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同， （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）求证：当时，． 命题方向三：分析法 例5．已知函数，已知是函数的极值点． （1）求； （2）设函数．证明：． 例6．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数 (1)求在处的切线; (2)若，证明当时，. 命题方向四：凹凸反转、拆分函数 例7．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，当，时，证明：任意的，都有恒成立. 例8．（2023·河南开封·校考模拟预测）设函数，． (1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围； (2)当时，求证：． 命题方向五：对数单身狗，指数找朋友 例9．已知函数． （Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值； （Ⅱ）当时，求证． 例10．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为． （1）求、的值； （2）当且时．求证：． 命题方向六：放缩法 例11．（2023·全国·高三专题练习）已知，，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，求证：． 例12．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数 （，为自然对数的底数）． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求证：. 命题方向七：虚设零点 例13．（2023·广东佛山·高三统考开学考试）已知函数，其中，. （1）证明：函数有唯一零点； （2）设为函数的零点. ①证明； ②写出一个代数式，使，并证明这一结论. 例14．（2023·全国·高三专题练习）设函数，，其中. (1)若，证明：当时，； (2)设，且，其中是自然对数的底数. ①证明恰有两个零点； ②设如为的极值点，为的零点，且，证明：. 命题方向八：同构法 例15．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知过点可以作曲线的两条切线，切点分别为、，线段的中点坐标为，其中是自然对数的底数. (1)若，证明：； (2)若，证明： 例16．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：在上恒成立； （3）求证：当时，． 命题方向九：泰勒展式和拉格朗日中值定理 例17．（2023·全国·高三专题练习）证明不等式：． 例18．（2023·全国·高三专题练习）证明： 例19．已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若，对，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时．若正实数，满足，，，，证明：． 命题方向十：分段分析法、主元法、估算法 例20．（2023·辽宁大连·统考三模）（1）非零实数，满足：.证明不等式：. （2）证明不等式：. 例21．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数． （1）讨论函数的导函数的单调性； （2）若，求证：对，恒成立． 例22．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知函数. (1)证明：当时，； (2)设为正实数且. （i）若，证明：； （ii）若，证明：. 命题方向十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值 例23．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数. (1)讨论的极值点个数； (2)若有两个极值点，直线过点. （i）证明：； （ii）证明：. 例24．已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）证明：； （3）若函数有两个零点，，证明． 命题方向十二：函数与数列不等式问题 例25．（