7 微阶段指导(五)-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（青岛版）

微阶段指导(五) (范围：解直角三角形) 知识链接 知识速练 解直角三角形 1. 定义： 直角三角形中共有三边三角六个元素，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2. 各元素之间的关系： ①角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； ②边之间的关系：a2＋b2＝c2； ③角与边之间的关系：sin A＝，cos A＝，tan A＝. 如图，若∠B＝45°，a＝4 cm，则∠A＝　45°　，b＝　4 cm　，c＝　4 cm　. 　[时间：60分钟　满分：100分] 一、选择题(每小题4分，共32分) 1. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sin B＝，则边AB的长为(A) A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 2. 在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是(B) A. 已知BC＝6，∠C＝90° B. 已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5 C. 已知∠C＝90°，∠A＝∠B D. 已知∠C＝∠B＝45° 解析：∵选项C，D缺少边的条件，A缺少边或锐角的条件，∴不能解直角三角形， 选项B中，由∠A的正弦可求出AB，再根据直角三角形的性质可求出∠B，然后由勾股定理或∠A的正切函数可求出AC. 3. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是(A) A. b＝c·cos B B. b＝a·tan B C. a＝c·sin A D. a＝ 4. 如图，A，B，C，D均在正方形网格的格点上，∠BAD，∠CAD分别用α和β表示，下列四个选项中正确的是(C) 第4题图 A. sin α＝cos α B. sin α＝tan α C. sin β＝cos β D. sin β＝tan β 解析：观察题图可知，△ADC是等腰直角三角形， DC＝AD＝2，AC＝2， ∴sin β＝cos β＝，故C正确． 5. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝，BE＝2，则 tan∠DBE 的值为(B) 第5题图 A. B. 2 C. D. 解析：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°. ∵cos A＝＝. 设AE＝3k，则AD＝AB＝5k，∴DE＝4k，BE＝2k， ∴tan∠DBE＝＝＝2. 6. 在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sin B的值是(D) A. B. C. D. 解析：根据题意，画出示意图如图所示，延长BA，作CD⊥BA于点D. ∵∠BAC＝120°，AB＝4，AC＝2， ∴∠DAC＝60°，∴∠ACD＝30°，∴2AD＝AC＝2，∴AD＝1，∴CD＝， ∴BD＝5，∴BC＝2，∴sin B＝＝. 7. 定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sad A，即sad A＝底边∶腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2∠B, 则sin B·sad A＝(B) 第7题图 A. B. 1 C. D. 2 解析：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＝2∠B，∴∠B＝∠C＝45°，∠A＝90°， ∴sin B•sad A＝·＝1. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4, cos A＝，则BD的长度为(C) 第8题图 A. B. C. D. 4 解析：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝＝5， ∴BC＝＝3. ∵∠DBC＝∠A，∴cos∠DBC＝cos A＝＝， ∴BD＝3×＝. 二、填空题(每小题4分，共16分) 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20，则∠B＝　45　°. 10. 在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是　10　. 解析：画出△ABC，过点A作AH⊥BC于点H. 在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠B＝60°，AB＝5， ∴sin B＝，∴AH＝AB•sin B＝5×sin 60°＝5×＝， ∴S△ABC＝BC•AH＝×8×＝10. 11. 如图，在△ABC中，cos B＝，sin C＝，AB＝5，则△ABC的面积是　14　. 解析：作AH⊥BC于点H. 在Rt△ABH中，cos B＝，AB＝5， ∴BH＝AB•cos B＝5×＝3，∴AH＝＝4. 在Rt△ACH中，sin C＝，∴∠C＝45°， ∴CH＝AH＝4，∴BC＝BH＋CH＝3＋4＝7， ∴S△ABC＝BC•AH＝×7×4＝14. 12. 在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则BC＝　6　. 解析：画出△ABC，过点A作AD⊥BC于点D. ∵AB＝AC，∴BD＝CD. 在Rt△ABD中，∵sin∠ABC＝＝＝0.8，∴AD＝