5 核心素养提升(一)-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（青岛版）

核心素养提升(一) (与相似有关的典型应用) 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是BA延长线上的一点，连接EC交AD于点F. 求证：△BEC∽△DCF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，BE∥CD， ∴∠E＝∠DCF， ∴△BEC∽△DCF. 　数学抽象之数量关系 【角度1】 比例的性质 1. 已知2a＝3b(ab≠0)，则下列变形正确的是(C) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 【探究思路】 直接利用比例的性质内项之积等于外项之积进行判断得出答案. 【角度2】 平行线分线段成比例 2. 如图，l1∥l2∥l3，根据平行线分线段成比例，下列比例式中正确的是(D) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 【探究思路】 根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，对选项进行分析，进而得出答案. 【角度3】 三角形相似 3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判定△ADE∽△ACB的是(C) A. ∠ADE＝∠C　　 B. ∠AED＝∠B C. ＝ D. ＝ 【探究思路】 由于∠DAE＝∠CAB，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断. 　直观想象之几何直观 【角度】画位似三角形 4. 如图，点P(3,2)在△ABC的边BC上，若以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC扩大为原来的2倍得到△A′B′C′，则点P在B′C′上的对应点P′的坐标是　(6,4)　. 【探究思路】 本题考查的是位似的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k是解题的关键． 　数学建模之模型思想 【角度】 相似三角形的应用 5. 如图，小明为了测量大树AB的高度，在离点B 21米的N处放了一个平面镜，小明沿BN方向后退1.4米到点D，此时从镜子中恰好看到树顶的点A，已知小明的眼睛(点C)到地面的高度CD是1.6米，求大树AB的高度. 【探究思路】 由图不难得出△CDN∽△ABN，再利用相似三角形对应边成比例，进而可求解线段的长. 【自主解答】 解：∵AB⊥DB，CD⊥DB，∴∠CDN＝∠ABN＝90°， ∵∠CND＝∠ANB，∴△CDN∽△ABN， ∴＝，即＝， ∴AB＝24， 答：大树AB的高度为24米． 1. 若2x＝5y，则下列等式正确的是(B) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 2. 如图，在正方形网格中有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC＋∠ACB的度数为(D) 第2题图 A. 135° B. 90° C. 60° D. 45° 解析：∵AB＝，AC＝，BC＝5，DE＝，EF＝2，DF＝， ∴＝＝＝， ∴△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF＝180°－45°＝135°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC＝45°. 3. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，点O是位似中心，相似比为2∶3，点A，B的对应点分别为点A′，B′. 若AB＝6，则A′B′的长为(B) 第3题图 A. 8 B. 9 C. 10 D. 15 解析：∵图形甲与图形乙是位似图形，相似比为2∶3，AB＝6， ∴＝，即＝， 解得A′B′＝9. 4. 两个相似三角形的面积比是4∶9，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是(D) A. 12 B. 12或24 C. 27 D. 12或27 解析：∵两个相似三角形的面积比是4∶9，∴两个相似三角形的相似比是2∶3， ∴两个相似三角形的周长比是2∶3. ∵一个三角形的周长为18，设另一个三角形的周长为x， ∴x∶18＝2∶3或18∶x＝2∶3， 解得x＝12或x＝27，∴另一个三角形的周长是12或27. 5. 如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为(B) A. B. C. 2 D. 3 解析：如图，作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，则CD∥AE， ∴△BDC∽△BEA，∴＝＝， ∴＝，解得BA＝2， ∴AC＝BA－BC＝2－＝. 6. 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体在暗盒中所成的像CD的高度为4 cm，那么物体AB的高度应为　3　m. 解析：∵△ABO∽△CDO，∴＝. 又∵CD＝4 cm，∴AB＝3 m. 7. 如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，∠DAC＝∠B，点E为边AB上一点． (1)求证：△CAD∽△CBA； (2)若BD＝10，DC＝8，求AC的长． (1)证明：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C， ∴△CAD∽△CBA. (2)解：∵△CAD∽△CBA， ∴＝，∴＝， ∴AC＝12. 8. 如图，在△ABC和△DEC中，