(教参)第2章 阶段任务性复习 解直角三角形及其应用-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（青岛版）

解直角三角形及其应用 问题：完成下列1～4题，思考解直角三角形及其应用的几种常见考查方式． 1. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为(　D　) A. 2 B. C. D. 解析：如图，延长AD，BC，两直线交于点O. 在Rt△ABO中，∠B＝90°，tan A＝＝，AB＝3，∴OB＝4. ∵BC＝2，∴OC＝OB－BC＝4－2＝2. 在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4， 由勾股定理，得AO＝5. ∵∠ADC＝90°， ∴∠ODC＝90°＝∠B. 又∵∠O＝∠O， ∴△ODC∽△OBA， ∴＝， ∴＝， 解得DC＝， 故选D. 2. 如图，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长为(　A　) A. 4米 B. 3米 C. 5米 D. 6米 解析：易知四边形EFCA和四边形ABDC都是矩形，ME＝7.5米， ∴CA＝EF＝BD＝1.5米，CD＝AB， 设FC＝x， 在Rt△MFC中， ∵∠MCF＝60°， ∴∠FMC＝30°， ∴MC＝2FC＝2x，MF＝x. ∵∠MDC＝30°， ∴∠CMD＝60°－30°＝30°， ∴CD＝CM＝2x. ∵ME＝MF＋EF， ∴x＋1.5＝7.5， 解得x＝2， ∴AB＝2×2＝4(米)． 故选A. 3. 如图，一渔船以32海里/时的速度向正北航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°，半小时后航行到B处看到灯塔S在渔船的北偏东60°，若渔船继续向正北航行到C处，此时渔船在灯塔S的正西方向，则此时灯塔S与渔船的距离为(　D　) A. 16海里 B. 18海里 C. 8海里 D. 8海里 解析：由题意，得AB＝32×＝16(海里)，∠ACS＝90°. ∵∠A＝30°，∠CBS＝60°， ∴∠ASB＝∠CBS－∠A＝30°， ∴∠ASB＝∠A， ∴BS＝AB＝16 海里． 在Rt△CBS中，sin∠CBS＝， ∴CS＝BS·sin∠CBS＝16×＝8(海里)． 故选D. 4. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1∶，坝高BC为2 m，则AB的长度为(　D　) A. m B. 2 m C. 3 m D. 4 m 解析：∵迎水坡AB的坡比为1∶， ∴＝. ∵BC＝2 m， ∴AC＝2 m. 由勾股定理，得AB＝＝＝4(m)． 故选D. 类型1　解直角三角形 【例1】 如图，A是第一象限内一点，线段OA与x轴正半轴的夹角为α，若sin α＝，OA＝5，则点A的坐标是(　C　) A. (3,5) B. (5,3) C. (4,3) D. (3,4) 【练习】 1. 如图，∠ABC＝∠BDA＝90°，下列线段比值等于sin A的是(　C　) A. B. C. D. 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，若BC＝2，则AC的长为 　4　. 解析：在Rt△ABC中， ∵sin A＝， ∴＝， ∴AB＝6， ∴AC＝ ＝ ＝ ＝4. 故答案为：4. 3. 如果等腰三角形中的两条边长分别是2和5，那么底角的余弦值为　　. 解析：由题意，得该三角形的底边长为2，腰长为5，画出示意图如图所示． 过点A作AD⊥BC于点D， 则AB＝AC＝5，BC＝2， BD＝BC＝1， 在Rt△ABD中，cos B＝＝. 故答案为：. 4. 如图，在△ABC中，BC＝2＋2，∠B＝30°，∠C＝45°，求△ABC的面积. 解：如图，作AD⊥BC于点D，设AD＝x. 在Rt△ABD中，∠B＝30°， ∴BD＝AD＝x. 在Rt△ADC中，∠C＝45°， ∴CD＝AD＝x. 而BD＋CD＝BC， ∴x＋x＝2＋2，解得x＝2，即AD＝2， ∴S△ABC＝×2×(2＋2)＝2＋2. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，AC＝3，tan∠CDA＝.求： (1)AD的长； (2)sin B的值. 解：(1)在Rt△ACD中，∠C＝90°，tan∠CDA＝，AC＝3， ∴＝＝， ∴CD＝2， ∴AD＝＝＝. (2)∵D为BC的中点， ∴BC＝2CD＝4. 在Rt△ABC中，AB＝＝＝5， ∴sin B＝＝. 类型2　仰角、俯角问题 【例2】无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测. 如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40 m至B处，