(教参)第1章 阶段任务性复习 相似三角形常见模型归纳-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（青岛版）

相似三角形常见模型归纳 问题：完成下列1～6题，思考并归纳相似三角形考查的几种常见模型． 1. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，＝，DE∥BC，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为(　B　) A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 解析：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝. ∵△ADE的周长为6， ∴△ABC的周长为6×3＝18. 2. 如图，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(　D　) A. ∠C＝∠AED B. ∠B＝∠ADE C. AE·AB＝AD·AC D. AE·AC＝AD·AB 3. 如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC上，DE与AC相交于点F，若AB＝18，BD＝6，则CF等于(　A　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解析：∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴∠B＝∠ADE＝60°， ∴∠BAD＋∠ADB＝120°，∠ADB＋∠FDC＝120°， ∴∠BAD＝∠FDC. 又∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCF， ∴＝， 即＝， ∴CF＝4. 4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，如果AD＝9，BD＝4，那么CD＝　6　，AC＝　3　. 解析：易得△CBD∽△ACD， ∴＝， 即＝，解得CD＝6. 由勾股定理，得 AC＝＝＝3. 5. 如图，点B，C，D在同一条直线上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠1＋∠2＝90°.求证：△ABC∽△CDE. 证明：∵AB⊥BC，ED⊥CD， ∴∠B＝∠D＝90°， ∴∠A＋∠1＝90°. 又∵∠1＋∠2＝90°， ∴∠A＝∠2， ∴△ABC∽△CDE. 6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P由点A出发沿AB方向向终点B匀速移动，速度为1 cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点C匀速移动，速度为2 cm/s.如果动点P，Q同时从A，B出发，当点P或点Q到达终点时运动停止．几秒时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？ 解：设t s时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似， 则PB＝(6－t)cm，BQ＝2t cm. ∵∠B为公共角， ∴以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似分两种情况： ①当＝时，即＝， 解得t＝2.4； ②当＝时，即＝， 解得t＝. 综上所述，2.4 s或 s时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似． 类型1　平行线型 【例1】如图，E是▱ABCD的边AD上的一点，且DE∶AE＝1∶2，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为(　C　) A. 21 B. 28 C. 34 D. 48 解析：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DF， ∴∠F＝∠ABE，∠EDF＝∠A， ∴△DFE∽△ABE， ∴＝＝. ∵DE＝3，DF＝4， ∴AE＝6，AB＝8， ∴AD＝9， ∴▱ABCD的周长为2×(8＋9)＝34. 故选C. 【练习】 1. 如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论中不成立的是(　B　) A. ∠DAE＝30° B. ∠BAC＝45° C. ＝ D. ＝ 解析：由矩形的性质和等边三角形的性质可得AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠EBA＝60°，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°，AB∥CD，AB＝CD，可得∠DAE＝∠CBE＝30°.由∠DAE＝30°，得DE＝AE，再由勾股定理，得AD＝DE，故＝＝.易得△ADE≌△BCE，可得DE＝CE＝CD＝AB，易得△ABF∽△CEF，则＝＝，通过排除法可求解． 2. 如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9. (1)求CD的长； (2)求证：△ABE∽△ACB. (1)解：∵AE＝4，AC＝9， ∴CE＝AC－AE＝9－4＝5. ∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE， ∴＝， ∴CD＝＝＝. (2)证明：∵＝＝，＝＝， ∴＝. 又∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB. 类型2　相交线型 【例2】如图，锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于点O，则与△DOB相似的三角形的个数是(　C　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：如图，∵CD，BE是高， ∴∠1＝∠2＝90°. 又∵∠3＝∠4，∴△BOD∽△COE. 同理∠AEB＝90°＝∠2， ∵∠5＝∠5，∴△AEB∽△ODB. 同理可证△COE∽△CAD， ∴△BOD∽△CAD. 综上，与△BOD相似的三角形有3个． 故选C. 【练习】 1. 如图，在△ABC中，AB＝5，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠AD