9 核心素养提升(二)-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

核心素养提升(二) (一元二次方程的解题技巧) 如图，有长为23 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各0.5 m的门. 如果要围成面积为45 m2的花圃，那么AB的长是多少米？ 解：设AB的长为x m，则BC的长为(23＋0.5×2－3x)m. 依题意，得x(23＋0.5×2－3x)＝45， 整理，得x2－8x＋15＝0， 解得x1＝3，x2＝5. 当x＝3时，23＋0.5×2－3x＝15＞10，不合题意，舍去； 当x＝5时，23＋0.5×2－3x＝9＜10，符合题意． 答：AB的长为5 m. 　　数学运算之“多角度考虑思想” 【角度1】　一元二次方程的解法 1. 解下列方程： (1)(x－3)2－4＝0；　　(2)x2－4x－8＝0. 【探究思路】　利用直接开平方法求解即可；利用配方法或公式法求解即可. 【自主解答】 解：(1)∵(x－3)2－4＝0，∴(x－3)2＝4， ∴x－3＝2或x－3＝－2， ∴x1＝5，x2＝1. (2)∵x2－4x－8＝0， ∴x2－4x＝8， 则x2－4x＋4＝8＋4，即(x－2)2＝12， ∴x－2＝±2， ∴x1＝2＋2，x2＝2－2. 【角度2】　根与系数的关系 2. 已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)设两个实数根是x1和x2，且x1＋x2－2x1x2＝2，则k的值为　－1　. 【探究思路】　根据一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＞0，从而求得k的取值范围；根据根与系数的关系和x1＋x2－2x1x2＝2，可求得k的值. 【自主解答】 解：(1)∵一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝22－4(k－1)＞0， 解得k＜2， 即k的取值范围是k＜2. (2)∵一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0的两个实数根是x1和x2， ∴x1＋x2＝－2，x1x2＝k－1. ∵x1＋x2－2x1x2＝2， ∴－2－2(k－1)＝2， ∴k＝－1. 故答案为－1. 　　一元二次方程的应用 【角度1】　一元二次方程根的判别式 3. 已知关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x＋1＝0没有实数根，则k的取值范围是(　C　) A. k＜2 B. k＜2且k≠1 C. k＞2 D. k≥2 【探究思路】　 若一元二次方程没有实数根，则根的判别式Δ＝b2－4ac＜0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围. 还要注意二次项系数不为0. 【自主解答】 解析：∵关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x＋1＝0没有实数根， ∴Δ＜0且k－1≠0，即4－4(k－1)＜0且k≠1， ∴k＞2. 故选C. 【角度2】　解决实际问题 4. 如图，在长为54 m、宽为38 m的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪. 要使草坪的面积为1 800 m2. 设道路的宽为x m，则可列方程为(　A　) A. (54－x)(38－x)＝1 800 B. (54－x)(38－x)＋x2＝1 800 C. 54×38－54x－38x＝1 800 D. 54x＋38x＝1 800 【探究思路】　设道路的宽为x m，则种植草坪的部分可合成长(54－x)m、宽(38－x)m的矩形，根据草坪的面积为1 800 m2，即可得出关于x的一元二次方程. 【自主解答】 解析：设道路的宽为x米，则种植草坪的部分可合成长为(54－x)米，宽为(38－x)米的矩形， 依题意得(54－x)(38－x)＝1 800. 故选A. 1. 下列方程是一元二次方程的是(　D　) A. x－2＝0 B. xy＋1＝0 C. x2－2x－3 D. x2－4x－1＝0 2. 若关于x的方程(m－1)x2－2x＋1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是(　B　) A. m＝1 B. m≠1 C. m＞1 D. m＜2 3. 方程x2－2x＝0的根是(　C　) A. x1＝x2＝0 B. x1＝x2＝2 C. x1＝0，x2＝2 D. x1＝0，x2＝－2 4. 一元二次方程x2＋2x－1＝0的根的情况是(　C　) A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 5. 某九年级毕业班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2 256张. 如果设这个班有x名学生，则可列方程(　B　) A. ＝2 256 B. x(x－1)＝2 256 C. (x－1)2＝2 256 D. x(x＋1)＝2 256 解析：若这个班有x名学生，则每名同学要送出相片(x－1)张， 依题意得x(x－1)＝2 256. 故选B. 6. 若m，n