专题2-5 指数与指数函数8大考点-【考点全归纳】2024年高考数学一轮复习核心考点与重难点突破（新高考通用）

专题2-5 指数与指数函数8大考点 知识点一 根式 1、根式的概念 （1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）的次方根的表示 当n是奇数时，，的值仅有一个，记为 当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 2、根式的性质（，且）：； 知识点二 指数幂 1、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、分数指数幂的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法． 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． （2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 3、有理数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 4、无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 知识点三 指数函数及其性质 1、指数函数的概念 一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3、指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。 （3）指数函数与的图象关于轴对称。 一、指数幂运算的一般原则 1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算； 2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； 3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数； 4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 二、条件求值问题的解题思路： 1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论； 2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值； 3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。 三、利用指数函数的单调性解指数不等式的方法、 1、解指数不等式时，若，则；若，则. 如果不等号一端为常数，则利用指数运算性质将常数化为同底的指数值，再利用指数函数的单调性转化为一般不等式求解； 2、解形如（为常数）的不等式，将常数转化为带有函数符号“”的函数值，然后根据函数的单调性脱去，将问题转化为具体的指数不等式求解。 四、指数型复合函数的单调区间和值域的求法 1、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 2、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 3、形如（，且）的函数的单调性的判断，首先确定定义域，再分两种情况讨论： （1）当时，若在区间上（其中）具有单调性，则函数在区间上的单调性与区间上的单调性相同； （2）当时，若在区间上（其中）具有单调性，则函数在区间上的单调性与区间上的单调性相反。 考点一 指数幂的化简与求值 【例1】（2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）计算：①＝________. ②＝________. 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）___________． 【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的值是（ ） A．15 B．12 C．16 D．25 【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）___________ 考点二 指数函数的定义及应用 【例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列函数是指数函数的有（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)． ①；②；③