能力拓展06 利用导数研究双变量问题（6种考向）-2024年新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用）

能力拓展06 利用导数研究双变量问题 【命题方向目录】 命题方向一：双变量单调问题 命题方向二：双变量不等式:转化为单变量问题 命题方向三：双变量不等式:极值和差商积问题 命题方向四：双变量不等式:中点型 命题方向五：双变量不等式:剪刀模型 命题方向六：双变量不等式:主元法 【方法技巧与总结】 破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果. 【典例例题】 命题方向一：双变量单调问题 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)设，证明：对任意，，． 例2．（2023·安徽·校联考三模）设，函数. （Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 命题方向二：双变量不等式:转化为单变量问题 例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围. 例4．（2023·湖南长沙·高二湘府中学校考期末）已知函数（a为常数）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围． 例5．（2023·河南洛阳·高二统考期末）已知函数（a为常数）． (1)若函数是增函数，求a的取值范围； (2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围． 变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在两个极值点的取值范围为，求a的取值范围. 命题方向三：双变量不等式:极值和差商积问题 例6．（2023·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）已知函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若存在两个不同的零点，，证明：. 例7．（2023·四川成都·校考一模）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)当时，求的单调区间； (2)若函数有两个零点，证明：. 例8．（2023·海南·高三校联考期末）已知函数 (1)求的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，，证明：． 变式2．（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数，其中. (1)讨论函数在上的极值； (2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围. 命题方向四：双变量不等式:中点型 例9．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数． （1）已知为的极值点，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，若对于任意，都存在，使得，证明：． 例10．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数 . （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设，证明：当时， ； （Ⅲ）设是的两个零点，证明 . 命题方向五：双变量不等式:剪刀模型 例11．（2023·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数在点(，)处的切线方程为． (1)求a、b； (2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)； (3)若关于的方程有两个实数根、，且，证明：． 例12．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知函数在点处的切线方程为． （1）求，； （2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值； （3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：． 命题方向六：双变量不等式:主元法 例13．（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数． (1)求函数的单调区间和最小值； (2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）； (3)若，求证：． 例14．（2023·全国·高三专题练习）设函数. (1)求的极值； (2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，证明：. 【过关测试】 1．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（    ）． A．1 B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b满足，，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（    ）