能力拓展04 活用三次函数的图象和性质（7种考向）-2024年新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用）

能力拓展04 活用三次函数的图象和性质 【命题方向目录】 命题方向一：三次函数的零点问题 命题方向二：三次函数的最值、极值问题 命题方向三：三次函数的单调性问题 命题方向四：三次函数的切线问题 命题方向五：三次函数的对称问题 命题方向六：三次函数的综合问题 命题方向七：三次函数恒成立问题 【方法技巧与总结】 1、基本性质 设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有： 性质1：①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像： 图像 性质2：三次方程的实根个数 由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数 其导函数为二次函数:， 判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得： (1) 若，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）; (5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且; (6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 性质3：对称性 （1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；； （2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 【典例例题】 命题方向一：三次函数的零点问题 例1．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·江西景德镇·高二景德镇一中校考期末）若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，且在和处取得极值. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 变式1．（2023·甘肃天水·统考模拟预测）设三次函数的导函数，且，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 命题方向二：三次函数的最值、极值问题 例4．（2023·云南·高三统考期末）已知函数，. （1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围； （2）设.若，在上的最小值为，求的零点. 例5．（2023·高三课时练习）已知函数，. （1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围； （2）设.若，在上的最小值为，求在上取得最大值时，对应的值. 例6．（2023·江苏·高二专题练习）已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值范围是（    ） A．m＜2或m＞4 B．或 C． D．2＜m＜4 变式2．（2023·湖南·高三校联考开学考试）三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·高二课时练习）已知三次函数无极值，且满足，则______. 命题方向三：三次函数的单调性问题 例7．（2023·河北衡水·高二河北武强中学校考期中）已知三次函数在是增函数，则的取值范围是 A．或 B． C． D．以上皆不正确 例8．（2023·全国·高三专题练习）三次函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例9．（2023·湖北十堰·高二统考期末）已知三次函数在上单调递增，则的最小值为____________. 命题方向四：三次函数的切线问题 例10．（多选题）（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）对于三次函数，若在处的切线与在处的切线重合，则下列命题中真命题的为（    ） A． B． C．为奇函数 D．图象关于对称 例11．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，若过点可作曲线的三条切线，证明:. 例12．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为. (1)求切线的倾斜角的取值范围； (2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 变式4．（2023·安徽·高三校联考期末）已知函数在 处取得极值． （1）求m的值； （2）若过可作曲线的三条切线，求t的取值范围． 变式5．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）已知函数在点处的切线方程为． （1）求实