能力拓展05 极值点偏移问题与拐点偏移问题（7种考向）-2024年新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用）

能力拓展05 极值点偏移问题与拐点偏移问题 【命题方向目录】 命题方向一：极值点偏移:加法型 命题方向二：极值点偏移:减法型 命题方向三：极值点偏移:乘积型 命题方向四：极值点偏移:商型 命题方向五：极值点偏移:平方型 命题方向六：极值点偏移:混合型 命题方向七：拐点偏移问题 【方法技巧与总结】 1、极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。 2、对称变换 主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0. (2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令. (3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 【典型例题】 命题方向一：极值点偏移:加法型 例1．（2023·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期中）已知函数，． (1)记，当时，求的单调区间． (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，． ①求实数a的取值范围； ②证明：． 例2．（2023·全国·高三专题练习）已知， (1)不等式对任意恒成立，求的取值范围； (2)当有两个极值点时，求证：. 例3．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知函数（其中e为自然对数的底） (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，是的极值点且.若，且. 证明：. 命题方向二：极值点偏移:减法型 例4．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值． (2)若，求证：． 例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中是自然对数的底数） (1)试讨论函数的零点个数； (2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：. 命题方向三：极值点偏移:乘积型 例6．（2023·广东深圳·高二统考期末）设函数，已知直线是曲线的一条切线. (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：. 例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的零点. (1)求实数的取值范围； (2)求证：. 例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为. (1)判断的单调性； (2)若关于的方程有两个实数根，，求证：. 变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围； (2)求证：； (3)设函数的两个零点、，求证：. 命题方向四：极值点偏移:商型 例9．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数，其中为自然对数的底数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，且，证明：. 例10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 命题方向五：极值点偏移:平方型 例11．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性： (2)若是方程的两不等实根，求证：； 例12．（2023·全国·高二专题练习）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点（），求证：. 例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数，）． (1)求的单调区间和极值； (2)若存在，满足，求证：． 变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)若f（1）=2，求a的值； (2)若存在两个不相等的正实数，满足，证明： ①； ②. 命题方向六：极值点偏移:混合型 例14．（2023·山东日照·统考二模）已知函数． (1)若恒成立，求实数的值： (2)若，，，证明：． 例15．已知函数，，其中为自然对数的底数． (1)若有两个极值点，求的取值范围； (2)记有两个极值点为、，试证明：． 命题方向七：拐点偏移问题 例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）若正实数满足，求证：. 例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立． (1)求实数的取值范围； (2)若正实数、