6.3 等比数列-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

6.3 等比数列 思维导图 知识点总结 1．等比数列的有关概念 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列 通项公式 设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则通项公式an＝a1qn－1.推广：an＝amqn－m(m，n∈N*) 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab 2.等比数列的前n项和公式 Sn＝ 典型例题分析 考向一 　等比数列基本量的运算 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　 ) A．14 B．12 C．6 D．3 解析：选D　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得即 解得所以a6＝a1q5＝3，故选D. 2．(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2a4的值为(　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C　根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a1，前n项和为Sn.于是S7＝＝1 016⇒a1＝8，则a4＝8×23＝26⇒log2a4＝log226＝6.故选C. 3．(2023·泸州模拟)记Sn为递增的等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝a2，则S4＝______. 解析：设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2得，a1＋a2＋a3＝a2，即1＋q2＝q，解得q＝2或q＝，∵{an}是递增数列，∴q＝2，∴S4＝＝24－1＝15. 答案：15 方法总结 等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． (2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.　　 考向二 等比数列的判定或证明 [典例]　已知数列{an}满足a1＝，a2＝1，an＋2＋4an＝5an＋1(n∈N*)． (1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：∵an＋2＋4an＝5an＋1，n∈N*， ∴an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，n∈N*， ∵a1＝，a2＝1，∴a2－a1＝， ∴数列{an＋1－an}是以为首项，4为公比的等比数列． (2)由(1)知，an＋1－an＝×4n－1＝22n－3， 当n≥2时， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1 ＝＋＝(22n－3＋1) 当n＝1时，a1＝(2－1＋1)＝满足上式． 所以，an＝(22n－3＋1)(n∈N*)． [方法技巧]　等比数列的判定方法 定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 中项公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列 通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列 注意 (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定． (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可 考向三 等比数列的性质 [典例]　(1)(2023·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，则a3a5a7的值为(　 ) A．π B．－π C．±π D．π3 (2)(2023·辽宁抚顺市第二中学模拟)若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝(　 ) A．6 B．5 C．4 D. [解析]　(1)在等比数列{an}中，因为a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，所以a2a8＝π＝a，所以a5＝±，所以a3a5a7＝a