6.2 等差数列-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

6.2 等差数列 思维导图 知识点总结 1．等差数列的有关概念 定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，即an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数) 通项公式 设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则通项公式an＝a1＋(n－1)d 等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b 2．等差数列的前n项和公式 已知条件 前n项和公式 a1，an，n Sn＝ a1，d，n Sn＝na1＋d 典型例题分析 考向一 　等差数列基本量的运算 1．已知等差数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a6＝17，S5＝a2a3，则a12＝(　 ) A．28 B．30 C．32 D．35 解析：选D　设公差为d且d>0，由a6＝17，S5＝a2a3，得⇒故a12＝a1＋11d＝2＋33＝35. 2．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝__________. 解析：因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，得d＝2. 答案：2 方法总结 解答等差数列运算问题的通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及a1，an，d，n，Sn五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了解方程的思想．　 考向二 等差数列的判定或证明 [典例]　在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1. (1)设cn＝，求证数列{cn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：在数列{an}中，∀n∈N*，Sn＋1＝4an＋2，则当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2， 两式相减得an＋1＝4an－4an－1，而cn＝，即an＝2ncn，则有2n＋1cn＋1＝4×2ncn－4×2n－1cn－1， 整理得cn＋1＝2cn－cn－1，即cn＋1＋cn－1＝2cn， 所以数列{cn}是等差数列． (2)由Sn＋1＝4an＋2得a1＋a2＝4a1＋2，而a1＝1，则a2＝5，c1＝＝，c2＝＝， 因此，等差数列{cn}的公差d＝－＝，即{cn}是以为首项，为公差的等差数列，则cn＝＋(n－1)＝n－，即＝，于是得an＝(3n－1)·2n－2， 所以数列{an}的通项公式an＝(3n－1)·2n－2. [方法技巧]　等差数列的判定与证明方法 定义法 如果一个数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数列{an}为等差数列 等差 中项法 如果一个数列{an}对任意的正整数n都满足2an＋1＝an＋an＋2，那么可以判断{an}为等差数列 通项 公式法 如果一个数列{an}的通项公式满足an＝pn＋q(p，q为常数)的形式，那么可以提出{an}是首项为p＋q，公差为p的等差数列，适用选择、填空题 前n项和 公式法 如果一个数列{an}的前n项和公式满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)的形式，那么可以得出数列{an}是首项为A＋B，公差为2A的等差数列，适用选择、填空题 考向三 等差数列的性质 角度1　等差数列的性质 [例1]　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于(　 ) A．110 B．150 C．210 D．280 (2)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其质量从大到小构成等差数列．若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的质量和为________斤． (3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且＝，则＝________. [解析]　(1)因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280. (2)设该若干段的质量从大到小构成等差数列{an}，由题意得，每4段为1尺，即a1＋a2＋a3＋a4＝4，a20＋a19＋a18＋a17