专题3.8 函数与方程（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题3.8 函数与方程 【核心素养】 以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围，研究两图象交点等．常常与不等式、导数结合考查，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 知识点一 函数的零点 1.函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 2.函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. 知识点二 零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. 特别提醒两个易错点： (1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根. (2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 常考题型剖析 题型一：求函数的零点 【典例分析】 例1-1. （2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的零点为（    ） A．2，3 B．2 C． D． 例1-2. （2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知定义域为R的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则______． 【规律方法】 函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 【变式训练】 变式1-1. （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知方程有两个不同的解，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2. （2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）关于函数，其中，给出下列四个结论： 甲：5是该函数的零点. 乙：4是该函数的零点. 丙：该函数的所有零点之积为0. 丁：方程有两个不等的实根. 若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型二：判断函数零点所在区间 例2-1.（2021·宁夏高三其他模拟（文））函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 例2-2. 函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(　　) A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 【规律方法】 判断函数零点所在区间有三种方法： ①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间. 特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断． 【特别提醒】 二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验． 【变式训练】 变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 变式2-2. （2021·北京清华附中高三其他模拟）函数的零点一定位于区间（ ） A． B． C． D． 题型三：判断函数零点的个数 【典例分析】 例3-1．（天津高考真题）已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 例3-2．（2024·四川成都·成都七中校考一模）函数零点个数为（ ） A． B． C． D． 例3-3．【多选题】（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，，成立，当且时，有，则下列命题中正确的是（    ） A． B．在上有5个零点 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 【方法技巧】 判断函数零点个数的方法： 1.直接法：即直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点； 2.定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点 3.图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数. 4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则