2024届高考数学一轮复习讲义导数的零点问题

导数的零点问题 对于利用导数研究零点问题的求解策略： 1、研究函数零点问题，要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助，得出函数零点的可能情况； 2、函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究，要抓住函数在不同零点处函数值均为零，建立不同零点之间的关系，结合零点的存在性定理，把多元问题转化为一元问题，再使用一元函数的方法进行研究． 题型一 利用导数讨论零点的个数 求零点问题关键是利用导数判断出在处有最小值并判断的正负，利用函数零点存在性定理说明存在零点个数. 典例1．已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，讨论的零点个数. 练习.已知 (1)当时，求的单调性； (2)讨论的零点个数． 典例2．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设函数，试讨论的零点个数. 练习.已知函数 (1)求函数的单调区间. (2)若，求函数在区间上的零点个数. 典例3．设函数. (1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，讨论函数零点的个数. 练习．已知函数 (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)设，讨论函数的零点个数． 题型二 根据零点个数求参数 先求最值，再找图像的交点个数 典例4．已知，函数． (1)求函数的极值： (2)若函数无零点，求的取值范围． 练习.已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数至多有两个零点，求实数a的取值范围. 典例6．设函数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有三个不等实根，求实数的取值范围. 练习．已知函数（） (1)求在处的切线方程； (2)当有3个零点时，求的取值范围． 典例7．已知函数在处取得极值. (1)求在上的最小值； (2)若函数有且只有一个零点，求b的取值范围. 练习．已知函数． (1)若，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程； (2)若方程有三个不同的根，求a的取值范围． 巩固练习 1．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)讨论在上的零点个数． 2．已知，函数. (1)证明：在上有唯一的极值点； (2)当时，求在上的零点个数. 3．已知函数. （1）当时，求的单调性及零点的个数； （2）当时，求的零点的个数. 4．已知函数[1，. （1）若，求的最大值； （2）讨论y=f(x)零点的个数. 5．已知函数. (1)当时，求f（x）的极值； (2)若函数f（x）至少有两个不同的零点，求a的最大值. 6．已知函数. (1)若在处取得极值，求在区间上的值域； (2)若函数有1个零点，求a的取值范围. 7．已知函数. (1)求的极值； (2)若有两个零点，求实数m的取值范围. 8．函数． (1)若函数有2个零点，求实数a的取值范围； (2)若在上的值域为，求实数a的值． 导数的零点问题 对于利用导数研究零点问题的求解策略： 1、研究函数零点问题，要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助，得出函数零点的可能情况； 2、函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究，要抓住函数在不同零点处函数值均为零，建立不同零点之间的关系，结合零点的存在性定理，把多元问题转化为一元问题，再使用一元函数的方法进行研究． 题型一 利用导数讨论零点的个数 求零点问题关键是利用导数判断出在处有最小值并判断的正负，利用函数零点存在性定理说明存在零点个数. 典例1．已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，讨论的零点个数. 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为(2)答案见解析 【解析】【分析】 （1）求得导数，结合上，导数的符号，即可求解函数的单调区间； （2）求得，分、，两种情况讨论，求得函数的单调性，结合零点的存在定理，得到结论. (1)解：当时，函数，可得. 当在区间上变化时，，f（x）的变化如下表： x 0 0 + 0 - f（x） 极小值1 极大值 -1 所以的单调增区间为；的单调减区间为. (2) 解：由题意，函数，可得 当时，在上恒成立，所以时，，所以在上单调递增.又因为，所以f（x）在上有0个零点.当时，令，可得.由可知存在唯一的使得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，，， ①当，即时，在上有0个零点. ②当，即时，在上有1个零点. 综上可得，当时，有2个零点；当时，有0个零点. 练习.已知 (1)当时，求的单调性； (2)讨论的零点个数． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2)当，0个零点；当或，1个零点；，2个零点 【解析】【分析】 （1）求出函数的导函数，可得，令，利用导数说明的单调性，即可求出的单调区间； （2）依题意可得，令，则问题转化为，，当时显然不成立，当时，参变分离可得，令，，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的图象