专题33平面向量基本定理及坐标表示-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题33平面向量基本定理及坐标表示 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：平面向量基本定理的应用 题型二：平面向量的坐标运算 题型三：利用向量共线求参数 题型四：利用向量共线求参数 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 【考点预测】 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． (2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝． 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 【常用结论】 1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然. 2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 4.已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 【方法技巧】 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 3.向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体． 4.平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)． 二、【题型归类】 【题型一】平面向量基本定理的应用 【典例1】在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a＋b B.a－b C.－a－b D.－a＋b 【典例2】在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________. 【典例3】在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A. B. C. D. 【题型二】平面向量的坐标运算 【典例1】已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　) A. B. C. D. 【典例2】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　) A. B. C．2 D. 【典例3】向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【题型三】利用向量共线求参数 【典例1】已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为________． 【典例2】已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　) A．－ B． C． D． 【题型四】利用向量共线求向量或点的坐标 【典例1】在△ABC中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC交于点M，则点M的坐标为________． 【典例2】已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________. 三、【培优训练】 【训练一】已知在Rt△ABC中，A＝，AB＝3，AC＝4，P