高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章知识点总结梳理

新教材人教A版2019版数学必修第一册 第二章知识点清单 目录 第二章　一元二次函数、方程和不等式 2. 1　等式性质与不等式性质 2. 2　基本不等式 2. 3　二次函数与一元二次方程、不等式 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第二章　一元二次函数、方程和不等式 2. 1　等式性质与不等式性质 一、不等关系 1. 在现实世界和日常生活中，既存在着相等关系，又存在着大量的不等关系，不 等关系常用不等式表示. 不等关系 a大于b a小于b a不大于b a不小于b a不等于b 符号表示 a>b a<b a≤b a≥b a≠b 二、两实数大小关系的基本事实 依据 a>b⇔a-b>0；a=b⇔a-b=0；a<b⇔a-b<0 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系 三、等式与不等式的性质 等式 不等式 对称性 a=b⇔b=a a>b⇔b<a 传递性 a=b，b=c⇒a=c a>b，b>c⇒a>c 加法 a=b⇒a±c=b±c a>b⇒a+c>b+c a>b，c>d⇒a+c>b+d 乘法 a=b⇒ac=bc； a=b，c≠0⇒= a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc a>b>0，c>d>0⇒ac>bd a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 2 / 2 四、比较实数(代数式)的大小 1. 比较实数(代数式)大小的方法 作差比较法 作商比较法 依据 a-b>0⇔a>b； a-b<0⇔a<b； a-b=0⇔a=b a>0，b>0且>1⇒a>b； a>0，b>0且<1⇒a<b 应用范围 作差后可化为积或商的形式 同号两数比较大小 步骤 ①作差；②变形； ③判断符号；④下结论 ①作商；②变形； ③判断商与1的大小关系；④下结论 变形技巧 ①分解因式；②平方后再作差； ③配方法；④分子(分母)有理化 按照同类的项进行分组 五、利用不等式的性质求代数式的取值范围 1. 利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”，但这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次进行这种转化后，就有可能扩大真实的取值范围. 解决此类问题，可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过一次不等关系的运算求得待求式的取值范围，可以避免错误. 2. 利用不等式性质求范围的一般思路 (1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)借助所给条件整体求解，切不可随意拆分所给条件； (3)结合不等式的传递性进行求解. 六、利用不等式性质证明不等式  1. 利用不等式的性质证明不等式的实质就是利用性质对不等式进行变形，变形一要考虑已知不等式与未知不等式在运算结构上的联系，二要考虑变形要等价，三要注意性质适用的前提条件. 2. 2　基本不等式 一、两个重要不等式 不等式 变形形式 等号成立的条件 a2+b2≥2ab(a，b∈R) ab≤ 当且仅当a=b 基本不等式： ≤ (a，b>0) a+b≥2，ab≤ 当且仅当a=b 二、基本不等式与最大(小)值（积定和最小，和定积最大） 1. 已知x，y是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2. 2. 已知x，y是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值. 3. 运用以上结论求最值要注意下列三个条件： (1)一正：要求各数均为正数； (2)二定：要求和或积为定值； (3)三相等：要保证具备等号成立的条件. 4. 设a>0，b>0，则有≤≤≤ (当且仅当a=b时取等号)， 即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数. 三、应用基本不等式求最大(小)值 1. 利用基本不等式求最值的注意事项 (1)一正：各项必须都是正值. 　　若各项都是正数，则可以直接用基本不等式求最大(小)值；若各项都是负数，则可以提取负号，化为正数后用基本不等式求最大(小)值；若有些项是正数，有些项是负数，则不可以用基本不等式求最大(小)值. (2)二定：各项之和或各项之积为定值. 　　利用基本不等式求最大(小)值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值，常见的方法技巧如下： ①拆(裂项拆项)：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定值创造条件； ②并(分组并