第11讲 对数与对数函数-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

第11讲　对数与对数函数 1、 基础知识 1.对数的概念 (1)定义:在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的　　　　,记作b=logaN,其中a称为对数的底数,N称为对数的真数,logaN称为对数式.  (2)常用对数与自然对数 以　　　　为底的对数称为常用对数,即log10N是常用对数,通常简写为　　　　.  以无理数e=2.718 28…为底的对数称为　　　　,自然对数logeN通常简写为　　　　.  2.对数的性质 (1)loga1=　　　　;  (2)logaa=1; (3)=　　　　.  3.对数的运算法则与换底公式 (1)运算法则:a>0且a≠1,M>0,N>0 loga(MN)=　　　　　　　　;  logaMα=　　　　　　　　(α∈R);  loga=　　　　　　　　.  (2)换底公式与推论 换底公式:logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1). 推论:lobn=　　　　,logab=.  4.对数函数的概念、图象与性质 概念 函数y=logax(a>0且a≠1)称为　　　　函数  底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 　　　　　  值域 　　　  性质 过定点　　　　,即当x=1时,y=0  在区间(0,+∞)上 是　　　　函数  在区间(0,+∞)上 是　　　　函数  5.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数　　　　　　　　　　互为反函数,它们的图象关于直线　　　　对称.  2、 常用结论 1.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 2.只有在定义域上单调的函数才存在反函数. 3、 分类训练 探究点一　对数式的化简与求值 例1 (1)设g(x)=ln(2x+1),则g(4)-g(3)+g(-3)-g(-4)= (　　) A.-1 B.1 C.ln 2 D.-ln 2 (2)(多选题)若10a=4,10b=25,则 (　　) A.a+b=2 B.b-a=1 C.ab>8(lg 2)2 D.b-a>lg 6 [总结反思] (1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形. (2)利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化. 变式题 (1)已知x,y∈N*,则loy= (　　) A.xlog2y B. C.2logxy D. (2)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 (　　) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1 (3)log3×log49+lg +2lg 2=　　　　.  探究点二　对数函数的图象及应用 例2 (1)函数y=的图象大致是 (　　) 图2-11-1 (2)已知x1是方程2x+2x=5的根,x2是方程2x+2log2(x-1)=5的根,则x1+x2= (　　) A. B.3 C. D.4 [总结反思] (1)在研究对数函数图象时一定要注意其定义域.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 变式题 (1)定义:N{f(x)􀱋g(x)}表示f (x)<g(x)的解集中整数的个数.若f(x)=|log2x|,g(x)=a(x+1)2+1,且N{f(x)􀱋g(x)}=1,则实数a的取值范围是 (　　) A.-,0 B.-,0 C.(-∞,0] D.-1,- (2)已知函数f(x)=log3(x+2),若a>b>c>0,则,,的大小关系为 (　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 探究点三　解决与对数函数性质有关的问题 微点1　比较大小 例3 (1)设a=log23,b=ln 3,c=,则 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a (2)(多选题)已知x>0,y>0,z>0,若-1<log3x=log5y=log7z<0,则(　　) A.z<y<x B.x<z<y C.3x<5y<7z D.5y<3x<7z [总结反思] 比较对数式的大小,一是将对数式转化为同底的形式,再根据对数函数的单调性进行比较,二是采用中间值0或1等进行比较,三是将对数式转化为指数式,再将指数式转化为对数式,通过循环转化进行比较. 微点2　解简单的对数不等式 例4 (1)已知函数f(x)=则不等式f(x)≤的解集是 (　　) A.(-∞,-ln 2]∪