第02讲 等差数列及其前n项和（十大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第02讲 等差数列及其前n项和 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解等差数列的概念． （2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． （3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． （4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 2023年甲卷（文）第5题，5分 2023年I卷第7题，5分 2022年上海卷第10题，5分 2022年乙卷（文）第13题，5分 （1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算． （2）解答题多与等比数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查． 知识点一．等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 知识点二．等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 知识点三．等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 知识点四．等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 知识点五．等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 知识点六．其他衍生等差数列． 若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 【解题方法总结】 （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 题型一：等差数列的基本量运算 例1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列满足：，且满足，则（   ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 例2．（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列的前项和是，则（   ） A． B． C． D． 例3．（2023·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（    ）． A．3 B．5 C．7 D．9 变式1．（2023·江西新余·统考二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（    ） A． B． C．2 D．4 变式2．（2023·广西·统考模拟预测）设为等差数列，若，则公差（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 变式3．（2023·山西·高三校联考阶段练习）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．30 B．28 C．26 D．13 【解题方法总结】 等差数列基本运算的常见类型及解题策略： （1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．和是等差数列的两个基本元素． （3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． （4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． 【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷． 题型二：等差数列的判定与证明 例4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 例5．（2023·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期末）记为数列的前项和． (1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列； ①数列是等差数列；② (2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和． 例6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，． (1)证明：是等差数列，并求出的通项． (2)证明：． 变式4．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知数列满足， ，. (1)若数列为数列的奇数项组成的数列，证明：数列为等差数列； (2)求数列的前50项和. 变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为