导数的恒能成立问题 讲义-2024届新高考数学一轮复习

导数的恒能成立问题 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 4、问题：对任意，均存在，使得成立，可转化为求参数的取值范围。 题型一 利用导数处理恒成立问题 典例1．设函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围． 练习1．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的，都有成立，求的取值范围． 2．已知函数（是正常数）. （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若，，求的取值范围； 典例2．已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：时，当恒成立. 练习 1．已知函数 （1）求的极值点； （2）若对任意恒成立，求的取值范围． 2．已知函数． (1)当时，恒成立，求实数的取值范围； (2)求函数的极值点． 题型二 利用导数处理能成立问题 典例3．已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值． (1)求函数； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围． 练习 1．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 2．已知函数，设在点处的切线为 （1）求直线的方程； （2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方； （3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围 典例4．已知函数． （1）若在点处的切线斜率为． ①求实数的值； ②求的单调区间和极值． （2）若存在，使得成立，求的取值范围． 练习 1．已知函数. （1）当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若存在，使得，求a的取值范围. 2．已知，在上是单调递增函数. (1)求a的最小值； (2)当实数a取最小值时，若存在实数x使不等式成立，求实数k的取值范围. 题型三 利用导数处理恒、能成立结合问题 典例5．已知函数． (1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值; (2)若对任意的，均存在，使得，求a的取值范围． 练习 1．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 2．已知函数 (1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值与函数的单调区间； (2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围． 典例6．已知函数，为的导函数． (1)求的定义域和导函数； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围． 练习1．已知函数，其中. (1)求的单调区间； (2)是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由. 2．设为实数，函数，. (1)若函数轴有三个不同交点，求的范围 (2)对于，，都有，试求实数的取值范围. 巩固练习 1．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围. 2．已知函数． (1)求函数的极值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 3．已知函数． (1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 4．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求该切线的方程； (2)若，恒成立，求的取值范围. 5．已知函数. (1)求函数的极值； (2)在内存在x，使不等式成立，求实数a的取值范围； 6．已知函数f(x)＝ax－2lnx． (1)讨论f(x)的单调性； (2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围． 7．已知函数 (1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程； (2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 8．已知函数． (1)证明：曲线在点处的切线l恒过定点； (2)若存在使得，求k的取值范围． 9．已知，函数，. （1）求在上的最小值； （2）若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围.（已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增） 10．已知函数．（注：是自然对数的底数） (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围； (3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值． 11．设函数，函数． （1）求证：方程仅有一个实根； （2）若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 12．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 导数的恒能