5.5 解三角形与其他知识的综合运用（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

5.5 解三角形与其他知识的综合运用（精讲） 一．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 二．方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2). 三．方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等. 四.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 考法一 解三角形在实际生活中的运用 【例1-1】（2023·河北·模拟预测）释迦塔俗称应县木塔，建于公元1056年，是世界上现存最古老最高大之木塔，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.2016年、释迦塔被吉尼斯世界纪录认定为世界最高的木塔.小张为测量木塔的高度，设计了如下方案：在木塔所在地面上取一点，并垂直竖立一高度为的标杆，从点处测得木塔顶端的仰角为60°，再沿方向前进到达点，并垂直竖立一高度为的标杆，再沿方向前进到达点处，此时恰好发现点，在一条直线上.若小张眼睛到地面的距离，则小张用此法测得的释迦塔的高度约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及，  则M，N间的距离为（    ）    A． B．120m C． D．200m 【一隅三反】 1．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）如图所示，某学生社团在公园内测量某建筑的高度，为该建筑顶部.在处测得仰角，当沿一固定方向前进60米到达处时测得仰角，再继续前进30米到达处时测得仰角，已知该建筑底部A和、、在同一水平面上，则该建筑高度为（    ）    A． B． C．45 D．90 2．（2023·陕西西安·统考一模）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度约为(取)（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江·高三专题练习）喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得酒店顶端的仰角，则酒店的高度约是（    ） （参考数据：，，） A．91米 B．101米 C．111米 D．121米 考法二 解三角形与平面向量的综合 【例2】（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【一隅三反】 1．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．（2022·广东广州·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)若，，为边的中点，求中线的长度； (2)若为边上一点，且，，求的最小值. 考法三 解三角形与三角函数性质综合 【例3】（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围. 【一隅三反】 1．（2023·上海·高三专题练习）已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 2．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，函数. （1）求函数的零点； （2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围. 3．（2023·安徽）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为. （1）求的值； （2）在锐角中，若，求的取值范围. 考法四 解三角形与各种心的综合 【例4】（2022·广东·模拟预测）的内角的对边分别为，且.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答. ①为的内心；②为的外心；③为的重心. (1)求； (2)若，__________，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【一隅三反】