5.4 正余弦定理（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

5.4 正余弦定理（精讲） 一．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形 边化角：a＝2Rsin A b＝2RsinB c＝2RsinC 角化边：sin A＝ sin B＝， sin C＝； a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC ＝ cos A＝； cos B＝； cos C＝ 二．三角形常用面积公式 1.S＝a·ha(ha表示边a上的高)． 2.S＝absin C＝acsin_B＝bcsin_A． 3.S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 三．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 四．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B． 五．盘点易错易混 1．利用正弦定理进行边角互换时，齐次才能约去2R 2.三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B． 3．判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 一．正、余弦定理的选用 1.正弦定理：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角； 2.余弦定理：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． 二．求解三角形面积问题 1.若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积． 2.若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 三．选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： 1.若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； 2.若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； 3.若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； 4.代数式变形或者三角恒等变换前置； 5.含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； 6.同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 考法一 常见的边角互换模型 【例1-1】（2023春·湖南）在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（    ） A． B．1 C． D． 【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（2022·安徽马鞍山·一模）已知的内角的对边分别为，设，，则 （       ） A． B． C． D． 【例1-4】（2022·重庆）在中，，，分别是角，，的对边，记外接圆半径为，且，则角的大小为________． 【一隅三反】 1．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A＝（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（    ） A．4 B．6 C． D． 3．（2023春·福建南平）（多选）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A=（       ） A． B． C． D． 考法二 三角形的周长与面积 【例2-1】（2023·广东）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的面积为______. 【例2-2】（2023·山东青岛·统考三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角B； (2)若c＝3a，D为AC中点，，求的周长． 【一隅三反】 1．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（    ） A． B． C． D．1 2．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，C为钝角，且. (1)求角B的大小； (2)若的面积为6，求的周长.