5.3 三角函数的性质（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

5.3 三角函数的性质（精讲） 一.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图:“五点法”作图原理： 1.正弦函数与余弦函数的图像画法 在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点 x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 二．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 三．伸缩平移 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度. 1． 求三角函数周期的方法 1.定义法； 2.公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝； 3.图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．　 二．三角函数的定义域 求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象．　 三．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型： 1.形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)； 2.形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； 3.形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)； 4，形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法，也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解求值域(最值)．　 四．三角函数的单调性 ①先把ω化为正数 ②化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间 ③把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内解x．　 5． 三角函数的对称性 1.对称轴：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可. 2.对称中心：对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可. 六．三角函数的奇偶性 七．三角函数的伸缩平移 八．三角函数中的ω的求解 1.若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解； 2.若已知函数的对称性，则根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以研究ω的取值； 3.若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 九．易错点： 对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数. 考法一 三角函数的周期 【例1-1】（2023·北京）在下列四个函数，①②（3）④中，最小正周期为π的所有函数为（    ） A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④ 【例1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（2022秋·河北）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·湖南）给出下列函数： ①；②；③；④． 其中最小正周期为