导数压轴题专项训练-2023届高三数学一轮复习

数学提优2——导数压轴题专项 一、不等式的证明问题 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1、已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直． (1)求a，b的值； (2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 2、已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 3、已知f(x)＝xln x. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立． 二、不等式恒成立问题 解题技巧 分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 1、已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)是否存在一个正实数，满足当时，恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2、已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数． (1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围． 4、设函数f(x)＝－，g(x)＝a(x2－1)－ln x(a∈R，e为自然对数的底数)． (1)证明：当x>1时，f(x)>0； (2)讨论g(x)的单调性； (3)若不等式f(x)<g(x)对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 三、极值点偏移问题 极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。 【方法技巧与总结】 1.对称变换 主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0. (2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令. (3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 2.应用对数平均不等式证明极值点偏移： ①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题. 1.已知函数． （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数在最大值； （2）当时，设函数的两个零点为，试证明：． 2.已知函数，的导数为． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，方程有两个不同的零点，，求证：． 3.已知函数有两个不同的零点. (1)求实数的取值范围； (2)求证：. 4.已知函数有两个相异零点、，且，求证：． 5.已知，（其中为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若，函数有两个零点，，求证：． 6.已知函数，． （1）若在处取得极值，求的值； （2）设，试讨论函数的单调性； （3）当时，若存在正实数，满足，求证：． 7.已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设，为两个不相等的正数，且，证明：. 8.已知函数（且）． (1)，求函数在处的切线方程． (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，且，证明：． 9.已知函数是自然对数的底数）有两个零点． （1）求实数的取值范围； （2）若的两个零点分别为，，证明：． 10.已知函数 (1)求证：当时，； (2)当方程有两个不等实数根时，求证： 四、函数的零点问题 1.“隐零点”概念：隐零点主要指在研究导数试题中遇到的对于导函数=0时，不能够直接运算出来或是不能够估算出来，导致自己知道方程有根存在，但是又不能够找到具体的根是多少，通常都是设x=，使得=0成立，这样的就称为“隐藏零点”。 2.“隐零点”解决方向：针对隐零点问题通常解决步骤： (1).求导判定是否为隐零点问题， (2).设x=，使得=0成立， (3)