5.2 三角函数的公式及应用（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

5.2 三角函数的公式及应用（精讲） 一．同角三角函数的基本关系 1.平方关系：sin2α＋cos2α＝1. 2.商数关系：＝tan α 3.公式变形： sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α． sin α＝tan αcos α． 二．三角函数的诱导公式 1.公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 奇变偶不变，符号看象限 2.诱导公式的记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋αk∈Z”中的k是奇数还是偶数． “变”与“不变”是指函数的名称的变化． “符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限． 三．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 2．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ 3．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ 4．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ 5．tan(α－β)＝ 6．tan(α＋β)＝ 四．二倍角公式 1．基本公式 (1)sin 2α＝2sinαcosα； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝． 2．公式变形 (1)降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；sin αcos α＝sin 2α； (2)升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sin α＝2；1－sin α＝2． （3）tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β) 五．积化和差与和差化积公式 1．积化和差公式 2．和差化积公式 sin α＋sin β＝2sin cos sin α－sin β＝2cos sin cos α＋cos β＝2cos cos cos α－cos β＝－2sin sin 一．常见的弦化切的结构形式 1.sinα、cos α的一次齐次分式，解决此类问题时，用分子分母同时除以cos α，将其转化为关于tan α的式子，进而求解． 2.sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos2α)，解决此类问题时，将原式看成分母是1的表达式，把1换成“sin2α＋cos 2α”，然后用分子分母同时除以cos 2α将其转化为关于tan α的式子，进而求解．　 二．弦的和差积形式 对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. 3． 诱导公式 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 4． 角的变换（角的拼凑） 1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．　 3.常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等， 常见的互补关系有－θ与＋θ，＋θ与－θ，＋θ与－θ等. 常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；＋α＝－等． 五．三角函数式化简 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．　 六．证明三角函数恒等式 1.如果需证的三角函数恒等式中只含同角三角函数，则可以从变化函数入手，即尽量把等式中所含三角函数都化为正弦和余弦或全部化为某一函数，虽然能达到最终目标，但这种方法不一定最简单； 2.如果需证的三角函数恒等式中含有不同角的三角函数，则宜从角的简化入手，尽量化复角为单角，或者减少不同角，以便能使用某一公式进行变形； 3.在证明三角函数恒等式中，“1”出现的频率较高，则可把“1”