5.1 三角函数的定义（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

5.1 三角函数的定义（精讲） 一．任意角 1.定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．分类： 3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 4.象限角与轴线角 易错点：终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同 二．弧度制 1．定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． 2．公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 易错点：利用上表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 三．任意角的三角函数 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．把r＝|OP| sin α＝ cos α＝ tan α＝ 定义域 R R 函数 值在 各象 限的 符号 一 ＋ ＋ ＋ 二 ＋ － － 三 － － ＋ 四 － ＋ － 一．判断象限角的方法 1.图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． 2.转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 二．三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 三．三角函数的定义 1，已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解； 2.已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值． 方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题； 3.已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值． 方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意应对a的符号分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．　 考法一 任意角 【例1-1】（2023春·青海）下列命题中正确的是（    ） A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系 B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角 C．终边相同的角的弧度制表示相差 D．终边相同的角的弧度都相同 【例1-2】（2023·山东德州）亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（2023春·辽宁）下列与终边相同角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023春·上海闵行）下列说法正确是（    ） A．角60和角600是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 2．（2023春·广东清远）（多选）下列说法正确的是（   ） A． B．第一象限的角是锐角 C．1弧度的角比1°的角大 D．锐角是第一象限的角 3．（2023·海南）设，且的终边与角的终边相同，则__________. 考法二 扇形的弧长与面积 【例2-1】（2023·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为cm，则扇形的面积为______cm2． 【例2-2】（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【例2-3】（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（       ）（参考数值：） A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m 【一隅三反】 1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等