第2章 一元二次函数、方程和不等式 阶段复习提升课（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

一元二次函数、方程和不等式 考点一　不等式及其性质 不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解． [练1] 已知a，b满足等式x＝a2＋b2＋20，y＝4(2b－a)，则x，y满足的大小关系是(　　) A．x≤y B．x≥y C．x<y D．x>y B　解析：因为x－y＝a2＋b2＋20－4(2b－a)＝(a＋2)2＋(b－4)2≥0，所以x≥y. [练2] 若a>b，x>y，则下列不等式正确的是(　　) A．a＋x<b＋y B．ax>by C．|a|x≥|a|y D．(a－b)x<(a－b)y C　解析：当a≠0时，|a|>0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y. [练3] 若角α，β满足－＜α＜，－＜β＜，则2α＋β的取值范围是(　　) A．－π<2α＋β<0 B．－π<2α＋β<π C．－<2α＋β< D．－<2α＋β< D　解析：∵角α，β满足－＜α＜，－＜β＜， ∴－π＜2α＜π，∴－＜2α＋β＜，故选D． 考点二　基本不等式及应用 基本不等式的关注点 　(1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法． [练4] 已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 B　解析：不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)(＋)≥(1＋)2≥9，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4. [练5] 若x>0，则函数y＝x＋－的最小值是________． 答案：0　解析：y＝x＋－＝x＋＋－2≥0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，故函数y＝x＋－的最小值是0. 考点三　一元二次不等式的解法 1．解不含参数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． [练6] 关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)的解集为{x|x<x1或x>x2}，且x2－x1＝5，则a的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ C　解析：原不等式可化为(x＋2a)(x－3a)>0，当a<0时，－2a>3a，所以解得x>－2a或x<3a，故x1＝3a，x2＝－2a，且x2－x1＝－5a＝5，解得a＝－. [练7] 已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2. 解：∵12x2－ax>a2，∴12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝. ①当a>0时，－<，解集为； ②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}； ③当a<0时，－>，解集为. 综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x或x>}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为. 考点四　一元二次不等式恒成立问题 1．一般是指一元二次不等式恒成立的问题，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 2．解决不等式恒成立、能成立问题的方法 (1)利用一元二次不等式判别式与图形相结合． (2)分离参数法． (3)转化为最大(小)值问题． [练8] 函数y＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，y≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2)当－2≤x≤2时，y≥a恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2. 所以实数a的取值范围是{a|－6≤a≤2}． (2)对于任意－2≤x≤2，y≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0对任意－2≤x≤2恒成立．令y1＝x2＋ax＋3－a，当x＝－2时，y1＝7－3a；当x＝2时，y1＝7＋A．则有： ①Δ≤0或②或③ 解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅，解③得－7≤a<－6. 综上可知，实数a的取值范围为{a|－7≤a≤2}． 考点五　解实际应用问题 解决实际问题的关注点 (1)审题要准，初步建模． (2)设出变量，列出函数关系式． (3)根据题设构