第2章 习题课 基本不等式的综合应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

习题课　基本不等式的综合应用 学习目标 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用． 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 知识点一　利用基本不等式比较大小 [例1] 已知0<a<b<1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　) A．P>Q>M B．M>P>Q C．Q>M>P D．M>Q>P B　解析：因为0<a<b<1，所以>，即P＞Q，又因为<，即P＜M，故M>P>Q. 运用基本不等式比较大小的注意点 (1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形． (2)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝B． [练1] 设a，b为非零实数，给出下列不等式： ①≥ab；②≥()2；③≥；④＋≥2. 其中恒成立的是________．(填序号) 答案：①②　解析：由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；＝＝≥＝＝()2，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，＋＝－2，可知④不正确． 知识点二　利用基本不等式求参数的值或范围 [例2] (1)若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是 (　　) A．{m|m＜－2或m≥4} B．{m|m≤－4或m≥2} C．{m|－2＜m＜4} D．{m|－4＜m＜2} (2)已知函数y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________. (1)D　(2)36　解析：(1)x＋2y＝(x＋2y)·(＋)＝2＋2＋＋≥8，当且仅当＝，即4y2＝x2时等号成立. 由x＋2y>m2＋2m恒成立，可知m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－4<m<2. (2)因为x>0，a>0，所以y＝4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即4x2＝a时y＝4x＋取得最小值，又因为x＝3，所以a＝4×32＝36. 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化． [练2]已知a>0，b>0，若＋≥恒成立，则m的取值范围是________． 答案：(－∞，12]　解析：根据题意，a>0，b>0，若＋≥恒成立，等价于(＋)(a＋3b)≥m恒成立，由于a>0，b>0，(＋)(a＋3b)＝3＋＋＋3＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，所以m≤12. 知识点三　“常数代换法”求最值问题 [例3] 已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 解：∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16， 当且仅当＝，即x＝4，y＝12时，等号成立． 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. [变式探究1] 若将条件换为x＋y＝1，试求＋的最小值． 解：＋＝(x＋y)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当9x2＝y2，即x＝，y＝时，取“＝”， ∴＋的最小值为16. [变式探究2] 若将条件换为x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值． 解：方法一　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝， ∴x＋y＝x＋＝x－8＋＋8＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18. 当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立， ∴x＋y的最小值是18. 方法二　∵x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，∴＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝8＋＋＋2≥10＋2＝18. 当且仅当＝，即x＝12，y＝6时取等号， ∴x＋y的最小值是18. 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． [练3]若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． 答案：　解析：目标式为x＋y，且由条件式可以构造出x＋y的平方，于是1＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－()2＝(x＋y)2，所以≥(x＋y)2，所以x＋y≤，当且仅当x＝y>0且x2＋y2＋xy＝1，即x＝y＝时等号成立． 1．知识清单 (1)利用基本不等式比较大小； (2)利用基本不等式求参数的值或范围； (3)巧用常数代换求最值问题． 2．方法归纳：配凑法． 3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误． ◎随堂演练 1．已知0<a<1，0<b<1，且a≠b，下列各式