第2章 微专题二 一元二次不等式中的恒成立、能成立问题（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

微专题二　一元二次不等式中的恒成立、能成立问题 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，解决一元二次不等式中的恒成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题． 一、在R上的恒成立问题 [例1] 已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围． 解：当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意． 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立， ∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点． ∴解得－1<k<0. 综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}． 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 [练1] 若关于x的一元二次不等式2x2－8x＋6－m>0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围． 解：要使2x2－8x＋6－m>0对任意x∈R恒成立，需使不等式2x2－8x＋6－m>0的解集为R，因为二次函数y＝2x2－8x＋6－m开口向上，故Δ＝(－8)2－4×2×(6－m)<0，解得m<－2，即实数m的取值范围是m<－2. 二、在给定区间上的恒成立问题 [例2] 已知函数y＝mx2－mx－1，若对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．m≤0 B．0≤m< C．m<0或0<m< D．m< D　解析：由y<－m＋4，得m(x2－x＋1)<5，∵1≤x≤3，∴1≤x2－x＋1≤7，∴m(x2－x＋1)<5转化为m<， 又当x＝3时，取得最小值，∴m<，∴实数m的取值范围是m<，故选D． 在给定区间上的恒成立问题的求解方法 若ax2＋bx＋c>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式ax2＋bx＋c>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围). [练2]当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a＜0} B．{a|a＜－} C．{a|a＞－} D．{a|a＞－} B　解析：当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<()2－恒成立，令y＝()2－＝(－)2－，则当x＝2时，ymin＝－，所以a<－. 三、不等式能成立或有解问题 [例3] 若存在实数2＜x＜4，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为(　　) A．{m|m＞13} B．{m|m＞5} C．{m|m＞4} D．{m|m＜13} B　解析：m>x2－2x＋5，设y＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，2≤x≤4，当x＝2时，ymin＝5，若∃2≤x≤4，使x2－2x＋5－m<0成立，即m>ymin，∴m>5. 故选B． 解不等式能成立问题的策略 解不等式能成立问题一般是转化为代数式的最值，即a＞ax2＋bx＋c能成立⇒a＞(ax2＋bx＋c)min；a≤ax2＋bx＋c能成立⇒a≤(ax2＋bx＋c)max. [练3] 若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． 解：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2， ∴m的取值范围为{m|m≥－2}． 学科网（北京）股份有限公司 $