上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

复旦大学附属中学2022学年第二学期 高一年级数学期末考试试题 2023年6月26日 时间：120分钟满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，其中1-6每小题4分，7-12每小题5分，满分54分） 1.已知复数z=1+i(i是虚数单位)，则1-沟=」 2.向量ā=(3,5)在向量b=(1,1)方向上的数量投彩为 3.如图，是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆 柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形 表达了阿基米德最引以自豪的发现.在这个伟大发现中，球的体积与圆 柱的体积之比为 (第3题) 4.若cos+isin 是纯虚数（其中i是虚数单位），则正整数n的最小值为 8 5.居藏f()=2血x0ax-25如经+osx+1.则r因的最大值为 6.设方程x2-2x+m=0的两个根为，B,且a-B=2,则实数m的值是 7.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容 器和一个狭窄的连接管道组成.开始时细沙全部在上部容器 中，细沙通过连接管道最后全部流到下部容器，假设在下方 也堆积成一个以下底面为底面的圆锥.如图，某沙漏由上下 两个圆锥组成，设此圆锥的高为h,细沙全部在上部时，其 高度为圆锥高度的号（细管忽略不计）.则细沙全部在下部时 (第7题) 堆积成的圆锥的高为 8.若异面直线a,b所成的角为80°，P为空间一定点，则过点P且与a,b所成的角都是50° 的直线有且仅有」 条 9.在△ABC中，AC=6,BC=8,∠C=90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1,则 PA·PB的取值范围是 10.已知2023年第57届世界乒乓球锦标赛规定适用的乒乓球直径为 4cm.如图，是一个正方形硬纸板，现有同学将阴影部分裁掉，把 剩余的扇形部分制作成一个圆锥型的纸筒.若这样的乒乓球能够完 全装入该同学所制作的圆锥型的纸简内，则正方形纸板面积的最小 值为 平方厘米 (第10题) 第1页共4页 1.在x0y平面上，将两个函数y=V2-1和 y=√x2+1、两条直线y=2和y=0围成的封闭图形 记为D,如图所示.记D绕y轴旋转一周而成的几何体 为2，则Q的体积值 12.如图，棱长为1的正方体A1A2A3A4-A5A6A7Ag的八 (第11题) 个顶点分别为A1,A2,,Ag,记正方体12条棱的中点分别为 Ag,A10,,A20:6个面的中心为A21,A22,,A26,正方体的 中心为A,记m,=A44可je1,2,…27刀，其中44是 正方体的体对角线.则m,+m2+…+m,= A1 二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） (第12题) 13.已知平面a和平面B,直线m,ncB,则“m∥a且n∥a”是“a∥B的() A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 14.下面五个命题： (1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形： (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形： (3)四个角都是直角的四边形是矩形： (4)有两个侧面是矩形的三棱柱是直三棱柱： (5)有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 其中真命题的个数是()， A.1 B.2 C.3 D.4 15.过正四面体ABCD的项点A作截面，若满足①截面是等腰三角形：②截面与底面 BCD成75°的：：角，这样的截个数为( A.6 B.12 C.18 D.24 16.己知x,x2∈(0，π)且1>0,4>0，选项中的命题都正确的是( (1)不停式sin名-sinx2图x-x2恒成立： (2)设为<，A(名，sin),B(x2,sinx,A(:,0),B(2,0),如果四边形AABB的面 积为s,那么存在∈[x,J使（名-x)sinx=s成立： (3)对任意元+4=1时，不等式21sinx+24sin,2≥2sinx+sinx恒成立： (4)对任意元+μ=1时，不等式sin(2x+x)≥元sinx+usin恒成立. A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4) 第2页共4页 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，在四棱锥A-BCC,B,中，平面ABC⊥平面BCC,B,△ABC是正三角形，四 边形BCC,B是正方形，D是AC的中点 (1)求证：AB,∥平面BDC: (2)求直线BC和平面BDC所成角的大小 (第17题) 18.(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分) 如图，已知点P在圆柱OO的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO的表面积为 24π，OA=BP=2. (1)求异面直线AB与AP所成角的大小： (2)求点A到平面APB的距离 19.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分) (